Ecuaciones diferenciales ordinarias
Páginas: 16 (3951 palabras)
Publicado: 13 de agosto de 2010
TEMA 5
TRANSFORMADA DE LAPLACE
El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja [pic], y reemplazar operaciones como la diferenciacióny la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja [pic]. Si esa ecuación algebraica se resuelve en [pic] para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa deLaplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.
Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método seresuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.
VARIABLE COMPLEJA [pic]
La variable [pic] es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notación empleada para [pic] se indica en la siguiente ecuación:
[pic]
Donde [pic] es la parte real y [pic] es la parte imaginaria.FUNCIÓN COMPLEJA F(s)
Una función compleja[pic], tiene una parte real y una imaginaria:
[pic]
Donde [pic] y [pic] son cantidades reales. La magnitud de [pic] es
[pic]
Y el ángulo [pic] de [pic] es
[pic]
El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de [pic] es
[pic]
Se dice que una función compleja [pic] es analítica enuna región, si [pic] y todas sus derivadas existen en esa región.
[pic]
Los puntos del plano [pic] en los que la función [pic] es analítica, reciben el nombre de puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano [pic] en los que la función [pic] no es analítica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función [pic] es iguala cero, se denominan ceros
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.
Definimos:
[pic] una función de tiempo [pic] tal que [pic] para [pic]
[pic] una variable compleja
[pic] transformada de Laplace de [pic]
[pic] un símbolo operacional que indica quela cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.
[pic]
Entonces la transformada de Laplace de [pic] está dada por
[pic]
El proceso inverso de hallar en tiempo [pic], a partir de la transformada de Laplace [pic], se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de la transformada inversa de Laplace es
[pic]
así
[pic]EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace de una función [pic] existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si [pic] es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango [pic] y si es de orden exponencial cuanto [pic] tiende a infinito. Se dice que una función [pic] es de orden exponencial, [pic] si existe una constante real, positiva[pic] tal que la función
[pic]
tiende a cero cuanto [pic] tiene a infinito. Si el limite de la función
[pic]
tiende a cero para [pic] mayor que [pic] y el límite tiene a infinito para [pic] menor que [pic], el valor [pic] recibe el nombre de abcisa de convergencia.
Para la función
[pic]
[pic]
Tiende a cero si [pic]. La abcisa de convergencia en este caso es...
TRANSFORMADA DE LAPLACE
El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja [pic], y reemplazar operaciones como la diferenciacióny la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja [pic]. Si esa ecuación algebraica se resuelve en [pic] para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa deLaplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.
Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método seresuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.
VARIABLE COMPLEJA [pic]
La variable [pic] es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notación empleada para [pic] se indica en la siguiente ecuación:
[pic]
Donde [pic] es la parte real y [pic] es la parte imaginaria.FUNCIÓN COMPLEJA F(s)
Una función compleja[pic], tiene una parte real y una imaginaria:
[pic]
Donde [pic] y [pic] son cantidades reales. La magnitud de [pic] es
[pic]
Y el ángulo [pic] de [pic] es
[pic]
El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de [pic] es
[pic]
Se dice que una función compleja [pic] es analítica enuna región, si [pic] y todas sus derivadas existen en esa región.
[pic]
Los puntos del plano [pic] en los que la función [pic] es analítica, reciben el nombre de puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano [pic] en los que la función [pic] no es analítica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función [pic] es iguala cero, se denominan ceros
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.
Definimos:
[pic] una función de tiempo [pic] tal que [pic] para [pic]
[pic] una variable compleja
[pic] transformada de Laplace de [pic]
[pic] un símbolo operacional que indica quela cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.
[pic]
Entonces la transformada de Laplace de [pic] está dada por
[pic]
El proceso inverso de hallar en tiempo [pic], a partir de la transformada de Laplace [pic], se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de la transformada inversa de Laplace es
[pic]
así
[pic]EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace de una función [pic] existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si [pic] es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango [pic] y si es de orden exponencial cuanto [pic] tiende a infinito. Se dice que una función [pic] es de orden exponencial, [pic] si existe una constante real, positiva[pic] tal que la función
[pic]
tiende a cero cuanto [pic] tiene a infinito. Si el limite de la función
[pic]
tiende a cero para [pic] mayor que [pic] y el límite tiene a infinito para [pic] menor que [pic], el valor [pic] recibe el nombre de abcisa de convergencia.
Para la función
[pic]
[pic]
Tiende a cero si [pic]. La abcisa de convergencia en este caso es...
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