Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Páginas: 9 (2028 palabras) Publicado: 31 de octubre de 2012
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.-
1) Ecuaciones de variables separables:
dydx=fx·gy
dyg(y)=fx·dx
dygy=fx·dx ∎
Ejemplo:
dydx=2xy2⟹dyy2=2x·dx⟹dyy2=2x·dx⟹-1y=x2+c⟹y=-1x2+1
2) Ecuaciones que se reducen a variables separables:
a) Caso 1.
dydx=fax+by+c (i)
Sea u=ax+by+c, derivamos respecto a x
dudx=a+bdydx⟹dydx=-a+dudxb
Ahora, reemplazamos en (i) y obtenemos:
-a+dudxb=fu⟹-a+dudx=b·fu⟹dudx=b·fu+a
dub·fu+a=dx⟹dub·fu+a=dx ∎
Ejemplo:
dydx=5x-3y+82 ⟹Sea u=5x-3y+8
⟹dudx=5-3dydx
⟹dydx=5-dudx3
Reemplazamos:
5-dudx3=u2⟹5-3u2=dudx⟹dx=du5-3u2⟹[…]
b) Caso 2.
dydx=fyx (ii)
Sea z=yx, ordenando y derivando respecto a xxz=y⟹z+x·dzdx=dydx⟹Reemplazamos en (ii):
z+x·dzdx=fz⟹dzfz-z=dxx⟹dzfz-z=dxx ∎
Ejemplo:
dydx=x+yx-y⟹dydx=x·1+yxx·1-yx⟹dydx=1+yx1-yx
Sea z=yx⟹xz=y⟹z+x·dzdx=dydx, y reemplazando:
z+x·dzdx=1+z1-z⟹x·dzdx=1+z21-z⟹1-z1+z2·dz=dxx⟹1-z1+z2·dz=dxx[…]
c) Caso 3.
Mx,y·dx+Nx,y·dy=0
Donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado n
dydx=-Mx,yNx,y⟹dydx=-Mx,x·yxNx,x·yx⟹dydx=-xn·M1,yxxn·N1,yx⟹dydx=-fyx
Y ahoraaplicamos 2.b ∎

Ejemplo:
x2-2y2·dx+xy·dy=0
dydx=-x2-2y2xy⟹dydx=-x2·1-yx2x2·yx⟹dydx=-1-2yx2yx
Sea u=yx⟹xu=y⟹u+x·dudx=dydx⟹Reemplazamos:
u+x·dudx=-1-2u2u⟹x·dudx=2u2-1u-u⟹uu2-1·du=dxx[…]
d) Caso 4.
dydx=fax+by+cdx+ey+f Si ae=bd (*)
ee·ax+by+cdx+ey+f=aex+bey+ece·(dx+ey+f)=Por *⟹bdx+bey+ece·(dx+ey+f)
⟹b·dx+ey+f-f+ece·dx+ey+f=b·dx+ey+f-bf+ece·dx+ey+f=gdx+ey+fReemplazamos:
dydx=f g (dx+ey+f)
Aplicamos 1 ∎
e) Caso 5.
dydx=fax+by+cdx+ey+f (iii) Si ae≠bd (**)
⟹ x0=-cb-fcabde y0=a-cd-fabde
⟹ x0=-cb-fcabde y0=a-cd-fabde
ax+by+c=0
dx+ey+f=0

dydx=dvdu (t)
dydx=dvdu (t)
Sea x=u+x0⟹dx=du
y=v+y0⟹dy=dv

Reemplazamos t en (iii):fax+by+cdx+ey+f=fau+ax0+bv+by0+cdu+dx0+ev+ey0+f=fau+bv-c+cdu+ev-f+f=fau+bvdu+ev
fau+bvdu+ev=fu·a+b·vuu·d+e·vu=fa+b·vud+e·vu
∴dvdu=fa+b·vud+e·vu
Reemplazamos z=vu, y aplicamos 2b ∎
Ejemplo:
dydx=x+y-1x+4y+2
⟹ x0=2 y0=-1
⟹ x0=2 y0=-1
x+y-1=0
x+4y+2=0

dydx=dvdu
dydx=dvdu
Sea x=u+2⟹dx=duy=v-1⟹dy=dv
Reemplazamos en la ecuación principal:
dvdu=2+u-1+v-12+u-4+4v+2⟹dvdu=u+vu+4v⟹dvdu=1+vu1+4·vu ; Sea z=vu⟹uz=v
⟹z+u·dzdu=dvdu
Volviendo a reemplazar:
z+u·dzdu=1+z1+4z⟹u·dzdu=1-4z21+4z⟹1+4z1+4z2·dz=duu⟹1+4z1+4z2·dz=duu …
3. Ecuaciones exactas y Factor integrante:

Mx,y·dx+Nx,y·dy=0, es exacta si:
∂M∂y=∂N∂x

Mx,y·dx+Nx,y·dy=0, es exacta si:
∂M∂y=∂N∂xPara la ecuación :Mx,y·dx+Nx,y·dy=0,diremos que existe una función
φx,y, tal que dφ=Mx,y·dx+Nx,y·dy
⟹dφ=∂φ∂xdx+∂φ∂ydy
Si la ecuación anterior es exacta, entonces:
∂φ∂xdx+∂φ∂ydy=Mx,y·dx+Nx,y·dy
⟹ ∂φ∂x=Mx,y ∧ ∂φ∂y=N(x,y)
⟹∂φ=M·∂x⟹φx,y=M·∂x+cy⟹φx,y=Hx,y+cy (iv)
⟹∂H∂y+c'y=Nx,y⟹c'y=N-∂H∂y⟹c'y=gy
⟹c'y=gy·dy-k
Ahora reemplazamos este valor en la ecuación (iv)obteniendo:
φx,y⟹Hx,y+cy-k=0 , k∈R
Por lo tanto la solución a la ecuación Mx,y·dx+Nx,y·dy=0 es φx,y=k
Ejemplo:
3x2+6xy2·dx+6x2y+4y3·dy=0
Primero verificamos si es exacta:
∂M∂y=12xy=∂N∂x
Por lo tanto existe un φx,y, solución de la ecuación:
∂φ∂x=M=3x2+6xy2⟹∂φ=3x2·dx+6y2x·dx⟹φx,y=x3+3x2y2+c(y)
∂x3+3x2y2+c(y)∂y=6x2y+c'y=Nx,y=6x2y+4y3⟹c'y=4y3⟹c'y=4y3·dy⟹cy=y4-k
∴φx,y⟹x3+3x2y2+y4=k , k=cte

Si la ecuación Mx,y·dx+Nx,y·dy=0 no llegase a ser exacta, se procede a verificar si la ecuación posee un factor integrante, para esto se realizan las siguientes operaciones:
a) Factor integrante dependiente de x
∂M∂y-∂N∂xN=f(x)
Por lo tanto el factor integrante será:
μx=expfx·dx
Nota:
Donde aparece la palabra “expϑ”, es lo mismo que...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Formulario ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Ejercicios Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Métodos de solución de Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • Solucion Numeria De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Y Parciales

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS