Ecuaciones diferenciales parciales

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I.T.E.S.R.C

MATEMATICAS V
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
FCO. JAVIER .BATRES LOPEZ M.C. JUAN CARLOS SIFUENTES GARCIA

INTRODUCCION ---------------------------------------------------------------------1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES-------------------------------------2 SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES------------------2  Algunos teoremas que deberíamos tener encuenta:------------3 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES-------4  Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones.----------4  Problemas que involucran conducción o difusión de calor.----7

INTRODUCCION A LA APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
La forma en la que las EDP se presentan habitualmente en la modelización de fenómenos de la Ciencia y Tecnologíaes precisamente la de modelos de evolución en los que se describe la dinámica a lo largo del tiempo de determinada cantidad o variable (también a veces denominada estado) que puede representar objetos de lo mas diversos que van desde la posición de un satélite en el espacio hasta la dinámica de un átomo, pasando por los índices bursátiles o el grado en que una enfermedad afecta a la población. Enotras palabras, los modelos dinámicos o de evolución son los más naturales en la medida que reproducen nuestra propia concepción del mundo: un espacio tridimensional que evoluciona y cambia en el tiempo. Cuando el estado o variable de un modelo o sistema de evolución es finito dimensional, el modelo mas natural es un sistema de EDO, cuya dimensión coincide precisamente con el del numero deparámetros necesarios para describir dicho estado. Así, por ejemplo, para posicionar una partícula en el espacio necesitamos de tres variables dependientes del tiempo y para describir su dinámica un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Pero en muchas ocasiones, como es el caso sistemáticamente en el contexto de la Mecánica de Medios Continuos, la variable de estado es infinito-dimensional. Estoocurre por ejemplo cuando se pretende describir la deformación de cuerpos elásticos o la temperatura de un cuerpo solido en los que la deformación o temperatura de cada uno de los puntos de ese medio continuo constituye una variable o incógnita del sistema. Los modelos matemáticos naturales en este caso son las EDP.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Antes que nada algunas definiciones de lo queson las EDP

Según wikipedia: Una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacioy el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Según zill: La forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden (EDP) con dos variables independientes, x y y, es:

en que A, B, C, . . . , G son funciones de x y y.Cuando G(x, y) = 0, la ecuación se llama homogénea; en cualquier otro caso es no homogenea. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES  Separación de variables Aunque hay varios métodos que pueden ensayarse para encontrar soluciones particulares , solo nos interesara uno: el metodo de Separación de variables. Cuando se busca una solución particular en forma de un producto de una función de xpor una función dey, como

a veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales, lineal con dos variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Para hacerlo notemos que

y que

donde la “prima” denota derivación ordinaria.

Algunos teoremas que deberíamos tener en cuenta:

Teorema 1: Considere la ecuación diferencial parcial lineal

donde x, y, son variables...
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