Ecuaciones diferenciales parciales

Introducción
Estos apuntes están dedicados al estudio de las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), aunque también se estudiarán los problemas de contorno para las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Una ecuación en derivadas parciales es una ecuación en la que aparece una función incógnita de varias variables y algunas de sus derivadas parciales. Todas las EDPs que veremos seránlineales. Más en concreto, salvo un breve estudio de las lineales de primer orden, trataremos de EDPs lineales de segundo orden, del tipo:
n

[1] L[ ] ≡
,j=1

Aj

∂2 ∂ ∂

n
j

+
j=1

Bj

∂ ∂

j

+C =D

donde , A j , Bj , C y D son funciones de ( 1 , . . . , n ) . Una solución de [1] será una función ( 1 , . . . , n ) de clase C2 en una región Ω de Rn que sustituida en laecuación la convierte en una identidad. Entre las EDPs lineales de segundo orden se encuentran muchas ecuaciones de la física. Entre ellas las tres clásicas: ecuación de ondas ecuación del calor y ecuación de Laplace
tt

− c2 =0 −k =0 t =0

que son ejemplos, respectivamente, de los tres grandes tipos en que se clasifican: hiperbólicas, parabólicas y elípticas. La teoría avanzada de EDPs viene a serla generalización del estudio de estas tres ecuaciones. Sus propiedades son tan diferentes que no existen teorías generales como la de las EDOs lineales. En el capítulo 1 se verá que, normalmente, no se puede hallar la solución general de una EDP. Sólo la tendremos para algunas de primer orden en dos variables (y aparecerá una función arbitraria en esa solución) y para muy pocas de segundo (enparticular, para la de ondas, con dos funciones arbitrarias). Además veremos qué condiciones adicionales (iniciales o de contorno) hay que imponer a las EDPs clásicas para que tengan solución única que dependa de forma continua de los datos. En la búsqueda de soluciones generales y en la unicidad será importante el concepto de curva característica, solución de una EDO muy ligada a la EDP. El capítulo3 trata el viejo método de separación de variables para resolver las ecuaciones clásicas (homogéneas y no homogéneas y en 2 o más variables) en recintos sencillos (y acotados, al menos, en una de las variables). Se supone la solución como producto de funciones de cada una de las variables, lo que lleva a resolver EDOs en cada una de ellas, alguna con condiciones de contorno. Resueltas todas, lassoluciones quedan expresadas en términos de series de Fourier. La necesaria teoría de problemas de contorno para EDOs (muy diferente de la de los de valores iniciales) y una descripción de dichas series se dará previamente en el capítulo 2. En ambos capítulos hablaremos brevemente de las funciones de Green. El capítulo 4 estudia varios temas independientes. Analizaremos y dibujaremos las solucionesde la ecuación de ondas a partir de fórmulas integrales, primero para una ( , t) (ecuación de la cuerda vibrante) y luego, con menos detalles, para tres y dos dimensiones espaciales. También utilizaremos la transformada de Fourier para resolver algunas EDPs en recintos no acotados (en particular, la del calor en la recta infinita). Los apuntes acaban con un apéndice en el que se repasan algunosconocimientos matemáticos previos (de EDOs, de cálculo en varias variables y de convergencia uniforme) que se utilizan en los capítulos anteriores.

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Para acabar esta introducción, describamos el significado físico de las ecuaciones clásicas. Interpretémoslas únicamente en sus versiones más sencillas (que son las más tratadas en los apuntes): cuando la es función de dos variables. Empecemoscon la ecuación de ondas unidimensional o ecuación de la cuerda vibrante. Consideremos las oscilaciones de una cuerda totalmente elástica, tensa y fija en sus extremos. Se supone que sus oscilaciones son siempre transversales u y de pequeña amplitud. En esas condiciones se puede instante t ver que si ( , t) representa el desplazamiento vertical del punto de abscisa en el instante t , la función...