Ecuaciones Diferenciales Por Reducción De Orden

Reducción de Orden

Reducción de una Ecuación Diferencial de Segundo orden a una de primer orden.

Forma Reducida de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

Uno de Los hechos matemáticos más Interesantes al estudiar las ecuaciones diferenciales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución y2 de

a2(x)y”+ a1(x)y’+ a0(x)y=0 (1)

En el intervaloI a partir de una solución y1 no trivial buscamos una segunda solución, y2(x), de la ecuación antes descrita tal que y1 y y2 sean linealmente independientes en I. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente independientes, su relación y2y1 es no constante en I; esto es y2y1=u(x) o y2=u(x)y1(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo y2(x)= u(x)y1(x) en la ecuación diferencial dada. Elmétodo se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar u.

Ejemplo:

Si y1=ex es una solución y”-y=0 aplique reducción de Orden para determinar la segunda solución y2.

Si y=u(x)y1(x)= u(x) ex Según la regla del producto
y’= uex + exu’ y”= uex + 2exu’+ exu”,

y así, y”-y=ex(u” + 2u’) =0Puesto que ex ≠0, para esta última ecuación se requiere que u”+2u’=0. Al efectuar la sustitución en w=u’, esta ecuación lineal de segundo orden en u se transforme en w’+2w=0, una ecuación lineal de primer orden en w. Usamos un factor integrante e2x y así podemos escribir

ddx[e2xw]=0

Después de integrar se obtiene w=c1e-2x, o sea que u’= c1e-2x por consiguiente, integramos de nuevo y llegamos a:U=-c12 e-2x+c2

Por Consiguiente, y=u(x) ex=-c12 e-2x+c2 (2)

Al elegir c2=0 y c1=-2 obtenemos la segunda solución que buscábamos, y2= e-x Dado que w(ex, e-x)≠0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes.

Como hemos demostrado que y1= ex y y2= e-x son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo ordenla ecuación (2) es la solución general de y”-y=0

Caso General

Si dividimos por a2(x) para llevar la ecuación (1) a la forma estándar

y” + P(x)y’ + Q(x)y=0 (3)

Donde + P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. supóngase, además, que y1(x) es una solución conocida de (3) en I y que y1(x) ≠0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y= u(x)y1(x), entonces.

y’=uy’1+ y1u’y”= uy”1 + 2 y’1 u’ + y1u”
y” + Py’ + Qy=u [y”1 + Py’1 + Qy1] + y1u” +(2 y’1 + Py1)u’=0
cero

Para lo anterior se debe cumplir

y1u” + (2 y’1 + Py1)u’=0 o sea, que y1w’ + (2 y’1 + Py1)w=0 (4)

Donde hemos igualado w=u’ obsérvese que la última de las ecuaciones (4) es lineal y separable a la vez, al separar las variables e integrar obtenemos:d dw+2y'1 y1dx+Pdx=0

ln│wy12│= - Pdx+c o sea wy12=c1e-∫Pdx

De la última ecuación despejamos w, regresamos a w=u’ e integramos de nuevo:

U=c1e-∫Pdxy12dx + c2

Si elegimos c1= 1 y c2 =0, vemos en y=u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es

y2=y1(x) e-∫P(x)dxy12(x)dx (5)

Segunda Solución con la Fórmula (5)La función y1=x2 es una solución de x2 es una solución de
x2y”-3xy’+4y=0. Determine la Solución General.

Solución

Partimos de la forma reducida de la ecuación
y”-3xy'+ 4x2y=0

y vemos de acuerdo con(5), que y2=x2 e3∫dx/xx4dx ← e3∫dx/x=eln x3=x3
= x2 dxxdx
= x2(lnx)
La Solución General está definida por y=c1y1+ c2y2

y= c1 x2+ c2x2(lnx)

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior (Método de Reducción de Orden)
Ejercicio 1
9y”-12y’+4y=0...