Ecuaciones diferenciales

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Taller - Ecuaciones Diferenciales de orden 1
Ejercicio 1 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. xy = y + 2xe−y/x con y(1) = 1, 2. y + y = 2te−t + t2 con y(0) = −1, 3. (t2 y + y 3 )dt− ty 2 dy = 0, 4. (2y − t3 )dt = tdy, 5. (3t + y)dt + (t + 3y)dy, 6. (t ln t)y + y = 3t3 con y(2) = 1, 7. (y − 2ty − t2 )dt + t2 dy = 0 con y(1) = 1, 8. tdy + ydt = ty 2 dt, 9. (2ty + y 2 )dt + (2ty +t2 + y)dy = 0, 10. y +
2t y t2 +1

= t,

11. (9t − y)dt + (−t + 18y)dy = 0, 12. (t − 1)y + y = y 2 . Ejercicio 2 Suponga un individuo cuya medida de aversión relativa al riesgo es constante, esdecir, está dada por la ecuación: b=− u (x)x u (x)

Tenemos que u(x) es la función de utilidad, x es el nivel de bienestar y b es una constante. Encuentre u(x). [Pista: tome v(x) = u (x)]. Ejercicio 3El modelo de Solow concluye que el capital per cápita k se acumula siguiendo la siguiente ecuación diferencial: ˙ k = sk α − nk ˙ donde k denota el cambio infinitesimal en k ante un cambioinfinitesimal en el tiempo t, s es la tasa de ahorro, n es la tasa de crecimiento de la población y α es la participación del capital en la producción. Encuentre la ecuación que describe a k en función del tiempo ty de los parámetros s, n y α.
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Ejercicio 4 Suponga un modelo en el cual el individuo ajusta su consumo actual C(t) a un nivel de consumo deseado C ∗ . El cambio en el consumo a través deltiempo es proporcional a la diferencia entre el nivel deseado y el consumo actual. Suponga que en t = 0 el consumo es C0 . Encuentre la función que describe a C(t). Ejercicio 5 Determine una función M (t,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta. 1 dy = 0 M (t, y)dt + tety + 2ty + t Resuelva la ecuación diferencial con la función M (t, y) que usted propuso. Ejercicio 6 Determine unafunción M (t, y) para que la siguiente ecuación diferencial sea homogénea. M (t, y)dt + t2 + 2ty + y 2 dy = 0 Ejercicio 7 Encuentre la función g(t) tal que la siguiente función y(t) y(t) = −3t2 1 +...
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