Ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales resolución numérica.

Fuentes:
Wikipedia, ecuaciones diferenciales.
Rinconmatematico, ecuaciones diferenciales ordinarias, Álvaro tejero cantero, Pablo Ruiz Múzquiz.
Métodos numéricos: resúmenes y ejemplos, francisco palacios.
Monografías, Josué Pérez.
Análisis numérico, Richard Burden, Douglas Faires.
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, dennis zill.EDO DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación en la que tenemos una derivada de la variable dependiente con respecto a la independiente igualada a una función compuesta por estas dos llámese ‘z’.

Z=f(x, y)
Dy/dx = z

Nuestro objetivo es encontrar la función f(x)=y a partir de la ecuación., Para esto existen diversos métodos analíticos con unacomplejidad variable, entre ellos:

Ecuaciones de variables separables
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:Ecuaciones homogéneas
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegadosa este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:
 o bien 
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x, y) por su valor como función que se ha establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

, introduciendo lavariable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

Ecuaciones lineales de primer orden
La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

Y la solución de la misma viene dada por:

En el caso particular  y , la solución es:

Ecuación diferencial de Bernoulli
Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuascualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:

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Ecuación de Riccati
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente seconoce una solución particular, digamos .
Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
,
esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Problema de valor inicial o de cauchy.

Si además de teneruna ecuación diferencial ordinaria de primer orden tenemos un valor de la función que se busca encontrar, y deseamos conocer otro valor de la función., es decir:

Dy/Dx = f(x, y)
F (x0) = y0
F (xi) = ¿?

Tenemos lo que se conoce como problema de valor inicial.

Métodos numéricos para resolución de problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Con lovisto anteriormente podríamos suponer que dada una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y un valor inicial, para calcular el valor deberíamos resolver la ecuación y a partir de la función que obtengamos evaluar el valor de la variable independiente, sin embargo la resolución de una ecuación diferencial no es sencilla en la mayoría de los casos porque supone primero el manejo algebraico...
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