Ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTCA
MATEMATICA III. CICLO I – 2010

|UNIDAD III. |ECUACIONES DIFERENCIALES |

PREPARADOPOR: RODRIGO CRUZ ORELLANA LEON.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.1 DEFINICIÓN, ORDEN Y GRADO.

Definición. Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (ED).

Para referirse a ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.Clasificación por tipo: Si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
Ejemplos:
[pic] , [pic] , [pic]

Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial(EDP).
Ejemplo:

[pic] [pic] , [pic]

Clasificación por orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
Ejemplo:
[pic], es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
En símbolos la EDO de n-ésimo orden de una variable dependiente, se puede expresar mediante la forma general:
[pic](*)

Clasificación según la linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en [pic]. Esto significa que una EDO de orden [pic]es lineal cuando (*) es [pic]
O bien,
[pic]
En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la ecuación anterior se ve que las dos propiedades características de una EDO lineal son como sigue:
-Lavariable dependiente “y” y todas sus derivadas [pic]son de primer grado, es decir, la potencia de cada termino en que interviene “y” es 1.
-Los coeficientes [pic] de [pic] dependen solo de la variable independiente “x”.
Las ecuaciones
[pic] Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer, segundo y tercer orden y de grado 1 (lineales).

1.2 SOLUCIÓN GENERAL Y SOLUCIÓN PARTICULAR.Llamamos solución de una ecuación diferencial ordinaria a toda función de la forma [pic] que satisface dicha ecuación diferencial. El proceso de hallar la solución de una ecuación se denomina integrar la ecuación.
Ejemplo: Dada la ecuación diferencial [pic], las funciones [pic]son soluciones de ella para todo [pic], como puede comprobase fácilmente.
[pic][pic]
Llamamos solución general de unaecuación diferencial al conjunto de todas las funciones que verifican dicha ecuación. En general, son familias n-parametricas de curvas, siendo n el orden de la ecuación. Cuando existe alguna solución que no pertenece a dicha familia, entonces esta solución recibe el nombre de solución singular.
Llamamos solución particular de la ecuación diferencial a cualquier función que la satisfaga. Puede obtenersefijando el valor de las constantes en la familia de funciones solución de la ecuación.
Ejemplo:
1. La solución general de la ecuación diferencial [pic] es [pic], que es una familia de funciones dependientes de un solo parámetro. Una solución particular de dicha ecuación es [pic].
Puede comprobarse que la familia [pic] es solución de la ecuación [pic]. Si se impone una condición inicial, porejemplo [pic], entonces sustituyendo [pic]se determina que [pic]. Así [pic]es una solución particular de [pic].
La función [pic]es también solución de ella y no pertenece a la familia dada, por lo que constituye una solución singular de la ecuación.
Ejemplo: Compruebe que [pic] es una solución de [pic] obtenga la solución particular si y = 1 cuando x = 1 y, y = 5 cuando x = 2....