Ecuaciones diferenciales

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1- RESEÑA HISTÓRICA

La teoría de las ecuaciones diferenciales se origina en los principios del cálculo, con Isacc Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhlem Leibnitz (1646-1716) en el siglo XVII. Es más, Ince establece:
“Todos nuestros vagos conocimientos sobre el nacimiento y desarrollo de la ciencia de las ecuaciones diferenciales se resumen en una fecha importante, el 11 de noviembre de 1675,cuando por primera vez Leibnitz asentó en un papel la ecuación ydy=12y2 no resolviendo con esto una simple ecuación diferencial, lo que era en sí trivial o secundario, sino que constituyó un acto de gran trascendencia, pues creó un símbolo muy útil: el signo de integración.” Aún cuando Newton realizó, relativamente, poco trabajo en la teoría de las ecuaciones diferenciales, su desarrollo elcálculo y la aclaración de los principios básicos de la mecánica proporcionaron una base para el desarrollo de sus aplicaciones, en el siglo XVIII, con mayor alcance por parte de Leonhard Euler. Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas: dydx=fx, dydx=fy, dydx=fx,y. Leibnitz llegó a resultados fundamentales del cálculoindependientemente, aunque un poco más tarde, que Newton. Nuestra notación moderna para la derivada dydx y el signo de integral fxdx se deben a Leibnitz.

A Newton y Leibnitz, siguieron los hermanos Bernoulli, Jakob (1654-1705) y Johann (1667-1748) y, el hijo de Johann, Daniel (1700-1782). Justamente, éstos son tres de los ocho miembros de la familia Bernoulli, quienes, en su tiempo, fueron prominentesmatemáticos y hombres de ciencia. Con ayuda del cálculo, formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas de la mecánica. Un problema (1696-1697) al cual contribuyeron ambos hermanos, y el cual provocó problemas entre ellos, fue el de la braquistrócona, la determinación de la curva de descenso rápido. Este problema conduce a la ecuación diferencial no lineal de primer orden(y')2+y=c donde c es una constante.

A finales del siglo XVII, muchos de los métodos elementales de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se conocían y, la atención se dirigió hacia las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior y hacia las ecuaciones diferenciales parciales. Jacobo Riccati (1676-1754) matemático italiano, consideró ecuaciones de la forma f (y,y', y'') = 0. También consideró una importante ecuación no lineal, conocida como ecuación de Riccati, dydx=a0x+a1xy+a2(x)y2, aunque no en forma tan general.

Posteriormente, en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre Simón Laplace (1749-1827) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales y,además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales. Posiblemente sea la ecuación de Laplace, la ecuación diferencial parcial más conocida en la física-matemática, la ecuación del potencial Uxx+Uyy=0, donde los subíndices indican derivadas parciales. El trabajo monumental de Lagrange, Mecanique Analytique, contiene las ecuaciones generales del movimiento de unsistema dinámico, conocidas actualmente como ecuaciones de Lagrange. El trabajo de cinco volúmenes de Laplace, Traité de Mecaniqué Celeste, le ganó el título de “Newton de Francia”. Los últimos volúmenes se publicaron en el período de 1789-1825 e incluyeron toda la mecánica de esa época. Las posturas de Lagrange y Laplace comprendieron dos filosofías de la matemática.
Para Laplace la naturalezaera esencial y la matemática eran su herramienta en el aprendizaje de sus secretos; para Lagrange la matemática eran un arte que justificaba su propio ser. Sin embargo, ambos hombres realizaron avances de gran alcance, tanto en la teoría como en las aplicaciones de la matemática.

En los últimos años, algunos matemáticos dedicados al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y...
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