Ecuaciones diferenciales

1-Definición. Clasificación
Ecuación diferencial: Una función que contiene una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes. Muchas leyes generales de la naturaleza-físicas químicas, biológicas y astronómicas- encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales (por ejemplo la antigüedad de un fósil, un circuito enserie, mezcla de dos soluciones salinas…)
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
Tipo:
Ecuación diferencial ordinaria: Si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Ecuación diferencial en derivadas parciales: Una ecuación que contiene as derivadas parcialesde una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes.
Orden: Es el de la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden de la ecuación.
Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial de forma es lineal cunad f es una función lineal de y, y´,…. Esto significa que una ecuación es linealcuando e puede escribir de la forma
(x)
En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas sonde primer grado ; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1
b) Cada coeficiente sólo depende de X, que es variable independiente.
Las funciones de como y o las funcionesde la derivada de y como no pueden aparecer en una ecuación lineal por tanto son ni lineales

2-Teorema de Picard
E teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard (matemático francés) otras teorema de Cauchy-Lipschitz (topólogo finés) o teorema de la existencia y unicidad) establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución deuna EDOs (ecuaciones diferenciales ordinarias) dado un problema de valor inicial.
Sea una función acotada en un recinto D entonces el problema
=

1) Tiene solución si f es continua Si cumple estas 2 cond se
2) Dicha solución es única si es continua dice que f es Lipschitziana

3- Ecuaciones diferenciales de primer orden
Se llama solución a toda función quesatisface la ecuación. Hay tres tipos de soluciones
Solución general: es la que se obtiene integrando n veces la ecuación diferencial y depende por tanto de n constantes de integración.
Solución particular: se obtiene a partir de la solución general, asignando unos valores concretos a las ctes de integración.
Solución singular: Puede existir o no si existe es la envolvente de la familia decurvas de la solución general, y por ello tangente en cada uno de sus puntos a una de las curvas solución general; no se deduce a partir de la solución general.

ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES
=
Casos particulares:
integral indefinida
ecuación autónoma
Ejemplo: Resolver
=
1



ECUACIÓN HOMOGÉNEA

El cambio la convierte en una ecuación devariables separadas x y z
Ejemplo: Resolver







ECUACIÓN REDUCUBLE A HOMOGÉNEA

Las ecuaciones definen dos rectas en el plano XY. Distinguimos dos casos
Las rectas se cortan en Los cambios convierten la ecuación en homogénea en las variables t y z
Las rectas son paralelas: El cambio convierte la ecuación en homogénea en lasvariables separables x y z

ECUACION LINEAL

Existencia y unicidad: Si f y g son continuas en (a,b)existe una y sólo una solución que pasa por (
Factor integrante : sin cte de integración
Solución general: con cte de integración
Si la ecuación se llama lineal homogénea y es de variables separables.
En general siendo

ECUACIÓN DE BERNOULLI

El cambio convierte la ecuación en lineal...