Ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales exactas (EDE)
Se definirá EDE con los siguientes pasos: Sea F(y,t). Entonces,
1. Su diferencial total es
2. Si se iguala a cero y esto es una ecuación diferencialexacta porque su primer miembro es la diferencial de la función F(y,t).
3. En general, una ecuación diferencial Mdy + Ndt = 0 es exacta si y solo si existe F(y,t) tal que , .
4. Asimismo, por elteorema de Young que dice , entonces, una ecuación diferencial es exacta si se cumple que . Este es el criterio para comprobar la exactitud de una ecuación diferencial.
5. Siendo exacta dF(y,t) = 0significa que la solución general es F(y,t) = C. Resolver una EDE consiste en buscara una primitiva F(y,t) e igualarla a una constante arbitraria.

Método de solución
Se plantearán aquí los pasospara hallar la solución de una EDE.
1. Sea . Esto significa que F contendrá la integral de m respecto a y, entonces,
2. Al ser M una diferencial parcial, se ha de integrar solo respecta a y, por loque t se trata como una constante.
3. Para hallar t se usa

Ejemplo:
2ytdy + y2dt = 0. Aquí: M = 2yt, N = y2. Entonces:
1. . En la función t se incluye la constante de integración.
2.3. Como , esto significa que N = y2. Se igualan entonces (2) y (3) y queda y ’t = 0
4. Se integra ’t y queda
5. El resultado de F(y,t) será y2t + k
6. La solución es F(y,t) = C..Sustituyendo queda y2t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces , C es arbitraria.

Otro ejemplo
Dada la siguiente ecuación diferencial: (3x2 + 6xy2) dx + (6x2y + 4y3)dy = 0
Pasos:
1. Identificar lasfunciones M y N
Mdx + Ndy = 0 (forma general de una EDE)
M = 3x2 + 6xy2; N = 6x2y + 4y3
2. Verificar que es exacta

son iguales, esto significa que es una EDE
3. U(x,y) = C
Es la expresióna la que se quiere llegar
4. Identificar M y N las derivadas parciales respectivas
M = ; N =
5. Se plantea U y se busca su función

Entonces queda
6. Se halla la derivada parcial de U...
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