Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales. Matemática III... Ing. Rubén Oropeza.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NAGUANAGUA, EDO. CARABOBO

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS Recopilación: Ing. Rubén Oropeza y otros. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial, es unaecuación en donde interviene una función desconocida (variable dependiente) y una o más de sus derivadas, en otras palabras es una ecuación que contiene derivadas. Las ecuaciones diferenciales, se pueden clasificar: a) Ecuaciones diferenciales ordinarias: Cuando la función tiene sólo una variable independiente.

2y

d 2 y dy   3 y  0  y  f x  es una función diferenciable de x dx 2 dx

b)Ecuación de derivadas parciales: Es cuando la función depende de dos o más variables.

d 2u d 2u   0  u  f x, y  es una función diferenciable de x y de y dx 2 dy 2
c) Según el orden: El orden de una ecuación diferencial, es de la derivada más alta presente en la ecuación.

d2y dy  3 y  y  0  De segundo orden 2 dx dx
d) Según el grado: El grado de una ecuación diferencial, es lapotencia más alta a la que está elevada la derivada de mayor orden, una vez eliminados los denominadores y racionalizada la ecuación, es decir, una vez que la ecuación esté escrita en forma polinómica en cuanto a las derivadas y la variable dependiente.

 y2  4 y  y  0  De segundo grado

d 2u  25  De primer grado dx 2
1

Ecuaciones Diferenciales. Matemática III... Ing. Rubén Oropeza.Como ejemplos de una ecuación diferencial, tenemos:
2 a) Una masa en un resorte: m d x

dt 2

 kx

2 b) Caída libre: d s

dt 2

g
 R dq  1 q  E t  C

2 c) Un circuito eléctrico: L d q

dt 2

dt

(1) Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y grado: 1. y  2 y  y  0

d2y  dy  2.  1   2 dx  dx 
2

2

3.d 2x dx  2  4x  et 2 dt dt
2

4. y   xy   2 y y   0

5. y 4   3 y   4 y  0

 d 3w   d 2w  6.  3    2   v.w  0  dv   dv     
8.

u u  u 7. x y

d2y dy  2 dx dx
f x  y sus

Una función y  f x  se denomina solución de una ecuación diferencial dada, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas se sustituyen por derivadas.Como, por ejemplo:

y  e 2 x
es solución de la ecuación diferencial sustituyendo, nos queda

y   2 y  0 , ya que

y   2e 2 x , luego

 2e 2 x  2e 2 x  0
Por lo tanto, podemos decir que si es solución, pero así mismo se puede comprobar que

y

1 2 x e 2

y  2e 2 x

y  4e 2 x

son también solución de la misma ecuación diferencial. Así, todas las funciones de laforma:

y  Ce 2 x
2

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donde C es un número real arbitrario, son todas soluciones. Una solución de este tipo, que contiene una o más constantes arbitrarias, se denomina solución general de una ecuación diferencial dada. Una solución particular de una ecuación diferencial, es toda solución obtenida asignando valores específicosa las constantes que intervienen en la solución general. En la práctica, se obtienen soluciones particulares de una ecuación diferencial a partir de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y sus derivadas.

Ejercicios resueltos: Comprobar si la función dada es solución o no de la ecuación diferencial 1. y   y  0

y  senx
y   senx , luego sustituyendo en la ecuacióndiferencial, queda:

y  senx , y   cos x ,

y   y  senx  senx  2senx  por lo tanto, y  senx no es solución
2. y   y  0

y  4e  x y   4e  x , luego sustituyendo en la ecuación diferencial, queda:

y  4e  x , y   4e  x ,

y   y  4e  x  4e  x  0  por lo tanto, y  4e  x es solución

3. y   2 y  0

y  3e 2 x

y  3e 2 x , y   6e 2 x...