Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “n”


Definición

Una ecuación diferencial de orden “n” es aquella que se puede expresar en la forma:

[pic] (1)

Otras notaciones usuales para este tipo de ecuaciones son:

[pic]

[pic]

El operador [pic]es la derivada n-ésima de y.

Propiedades del operador diferencial

Si [pic]; [pic] y [pic]

Se cumplen las siguientes propiedades delOPERADOR DIFERENCIAL:

( Conmutativa

[pic]

( Asociativa

[pic]

( Cerradura en el producto

[pic]

( Conmutativa para el producto

[pic]

( Asociativa para el producto

[pic]

( Distributiva del producto en la suma

[pic]

( [pic]

( [pic]

([pic]

( [pic]

• Operador inverso
[pic]



Dependencia e Independencia lineal



Un método para investigar la independencia lineal de un conjunto de n funciones fue desarrollado por el matemático polaco WRONSKI.

Sean [pic] y [pic] dos funciones linealmente dependientes (LD), entonces para [pic] se cumple que:

[pic]

Dividiendo entre [pic] tendríamoslo siguiente:

[pic]

Derivamos:

[pic]

La única posibilidad para que se cumpla la igualdad con cero sería que:

[pic]

Multiplicando por (-1) tendríamos:

[pic]

Que es equivalente a tender el determinante:

[pic]



Es decir:

[pic]

Por lo tanto si[pic]

Las funciones son linealmente independientes (LI)

Al determinante propuesto se le llama WRONSKIANO. Generalizando, se llama WRONSKIANO a un determinante de la forma:

[pic]

Teorema



Una condición suficiente pero no necesaria para que n funciones [pic] sean LI es que su Wronskiano sea diferente de cero.

Ejemplos a desarrollar

( Determinar si [pic] y[pic]son dos funciones linealmente independientes



( Determinar si [pic] y [pic]son dos funciones linealmente independientes



Características de la solución general de la ED lineal homogénea

Sea la ED lineal homogénea:

[pic] (1)

Teorema

Si [pic] son n funciones LI, cada una de las cuales es solución particular de la ED lineal homogénea (1), entonces lasolución general será:

[pic]




Características de la solución general de la ED lineal NO homogénea

Sea la ED lineal NO homogénea:

[pic] (1)





Teorema

Si [pic]es una función de x que es solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada a (1) y si [pic] es una solución particular de la ED NO homogénea (1), entonces la solucióngeneral de (1) estará dada por:

[pic]



Ejemplos a desarrollar

Dada la ED [pic], que tiene como solución de la homogénea asociada [pic]. Investigar si [pic]es una solución de la no homogénea. En caso afirmativo, dar la solución general.

[pic]



SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES

La ED homogénea con coeficientes constantes[pic] (1)

Tiene como solución:

[pic] (2)



Se busca una solución [pic] de tal naturaleza que al ser sustituida en (1) verifique la igualdad, para ello la función que se proponga como solución debe ser tal que sus derivadas sucesivas sean de la misma especie, esto es, una función cuyas derivadas sucesivas difieran entre sí por constantes. Una función quecumple con estas características es:

[pic] (3)

[pic]

Sustituir (3) en (1)

[pic]

[pic] (4)

La ecuación (4) es un polinomio de grado n que en virtud del Teorema Fundamental del ALGEBRA tendrá n raíces, [pic] cada una de las cuales al ser sustituidas en (3) nos proporciona n funciones que cada una es...