Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES(ED)


MODULO I





DEFINICION:

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o mas variables dependientes se llama ecuación diferencial.

“EJEMPLO”

[pic]

[pic]= variable independiente


[pic], imagen, variable dependiente








[pic] [pic] = variable independienteDominio




DEFINICION 2:

Una ecuación diferencial que contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se llama ecuación diferencial ordinaria.

“EJEMPLO”

a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]


Si la ecuación involucra derivadas parciales se le llamaecuación diferencial parcial.



“EJEMPLO”

[pic]

Derivada parcial de [pic]y [pic]

[pic]


DEFINICION 3:

La derivada de mayor orden que contiene una ecuación diferencial determino el orden de la ecuación diferencial.

“EJEMPLO”

[pic]
=[pic] Tercer orden


[pic] Segundo orden


[pic]Primer orden



DEFINICION 4:

Unaecuación diferencial lineal ordinaria de n-ésimo orden en la variable dependiente “[pic]” y la variable independiente “[pic]” es una ecuación que se encuentra o puede expresarse de la siguiente forma.

[pic]


Función constante diferente de cero


a) La variable dependiente “ [pic]” y sus derivadas se presentan solo en el primer grado.
b) No hay productos de“[pic]” o por alguna de sus derivadas ni producto entre sus derivadas.
c) No contiene funciones trascendentales y o sus derivadas de “ [pic]”.

“EJEMPLO”



[pic] ( Ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden


[pic]( Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. No Lineal.


[pic]( Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden. No Lineal.



“EJERCICIO”Verifica si las siguientes ecuaciones son lineales, explique por que si y por que no es lineal.

1. [pic]
No es lineal por que la derivada esta al cuadrado.


2. [pic]
No es lineal por el producto de “y” con su derivada


3. [pic]

No es lineal porque contiene función trascendental de “y”


4. [pic]

Si es lineal.


5. [pic]

No es lineal porque “y” se encuentraelevada al cuadrado.


DEFINICION

Una solución de una ecuación diferencial es una función que reduce la ecuación a una identidad.

“EJEMPLO”

Probar que [pic] y [pic] son soluciones de la ecuación diferencial [pic]

Solución:

[pic]
Sustituyendo a [pic]en la ecuación:

[pic]
[pic]

Por lo tanto [pic] es solución de la ecuación diferencial.Solución:

[pic]
Sustituyendo a [pic]en la ecuación:

[pic]
[pic]

Por lo tanto [pic] es solución de la ecuación diferencial.


[pic]

[pic]

Solución:

[pic]




Sustituyendo a [pic]en la ecuación:

[pic]

[pic]
[pic]

Por lo tanto [pic] es soluciónde la ecuación diferencial.
Solución biparamétrica (tiene dos parámetros)














“EJERCICIO”

Las funciones [pic], [pic], [pic] y [pic] son constantes arbitrarias, resultan ser soluciones de la ecuación diferencial: [pic] .

Solución:

[pic]
Sustituyendo a [pic]en la ecuación:

[pic][pic]

Por lo tanto [pic] es solución de la ecuación diferencial.

Solución:

[pic]
Sustituyendo a [pic]en la ecuación:

[pic]
[pic]

Por lo tanto [pic] es solución de la ecuación diferencial.


WRONSKIANO.

[pic]
Como el Wronskiano es diferente de cero, por lo tanto [pic] son linealmente independientes.


[pic]

Por lo tanto...