ECUACIONES DIFERENCIALES

Circuitos y Sistemas Dinámicos (3º IIND)

Tema 2

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Curso 2003/2004

Tema 2: La Transformada de Laplace
2.1 Introducción: de dónde venimos y a dónde vamos
2.2 Definición de la transformada de Laplace
2.3 Transformadas de funciones básicas
2.4 Propiedades de la transformada de Laplace
2.5 La función de transferencia
2.6 Polos y ceros
2.7 La transformadainversa
2.8 Teoremas del valor final e inicial
Algo sobre Pierre Simon, Marqués de Laplace

Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)

CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 2

2.1 Introducción: De dónde venimos...
Por lo que hemos visto anteriormente, no parece
fácil el estudio de los fenómenos transitorios de
circuitos de un orden superiora 2
Incluso en los de orden 2, el estudio se complica
si sometemos a esos circuitos a señales de
excitación complejas
Hace falta una herramienta que simplifique y
sistematice el estudio del comportamiento
transitorio de circuitos y otros sistemas dinámicos

CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 3

Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)…y a dónde vamos
Esa herramienta se llama Transformada de
Laplace: convierte ec. diferenciales en algebraicas
Dominio del tiempo
Problema de ecuaciones
diferenciales
con valor inicial

Dominio de la frecuencia
Trans. de Laplace

L

Muy fácil

Difícil

Solución del problema de
ecuaciones diferenciales
con valor inicial

Departamento de Electrotecnia y Sistemas
EscuelaTécnica Superior de Ingeniería (ICAI)

Problema de ecuaciones
algebraicas

L-1
Trans. inversa
de Laplace

Solución problema
algebraico

CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 4

2.2 Definición
Transformada unilateral de Laplace
∞

F ( s ) = L { f (t )} = ∫ − f (t ) ⋅ e − st dt

t [s]
s [s-1]

0

Es una integral impropia: de 0 a ∞
Converge en las funciones que representanmagnitudes físicas (las que nos interesan)

Es unilateral
Nos interesa la evolución de la función para
tiempos positivos
CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 5

Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)

2.3 Transformada de funciones básicas
Transformadas funcionales

Escalón unitario u0(t)
Es una función que permite escribir laexpresión
matemática de funciones finitas en el tiempo
u0(t)
u0(t) = 0 t0
Condición inicial
u0(0-)=0

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Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)

Valor inicial
u0(0+)=1
1

t

CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 6

Transformada de funciones básicas (2)
Escalón u0(t)
Se puede combinar

1
a

t

t

a

2

u0(a-t) =
1- u0(t-a)u0(t-a)

t

u0(t)-u0(t-2)

2

1

3

t

f(t)=2t·u0(t) - 4(t-1)·u0(t-1) +
+ 4(t-3)·u0(t-3) - 2(t-4)·u0(t-4)
CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 7

Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)

Transformada de funciones básicas (3)
Escalón u0(t)
Su transformada:
∞

∞

L {u0 (t )} = ∫ − u0 (t ) ⋅ e dt = ∫ + 1 ⋅ e − st dt =
0− st

0

∞

e − st 
1
=−
=
s  0+ s


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CSD-Tema 2: La transformada de Laplace - 8

Transformada de funciones básicas (4)
Exponencial:

e − at
1

t

L {e − at ⋅ u0 (t )} = ∫ + e − at ⋅ e − st dt =
∞

0

∞

= ∫ + e − ( a + s )t dt =
0

1
s+a
CSD-Tema 2: La transformadade Laplace - 9

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Transformada de funciones básicas (5)
Exponencial compleja: e − jω t = cos(ω t ) − j ⋅ sen(ω t )
L {e − jω t ⋅ u0 (t )} = ∫ + e − jω t ⋅ e − st dt =
∞

0

∞

= ∫ + e − ( s + jω ) t dt =
0

=
L {( cos(ω t ) − j ⋅ sen(ω t ) ) ⋅ u0 (t )} =

s − jω
1
= 2
s + jω s + ω 2...