ecuaciones diferenciales

CAPÍTULO I: ESTUDIO DE VIGAS

1.1 FLEXIÓN DE UNA VIGA

1.1.1 VIGA.- En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
El esfuerzo de flexiónprovoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de unforjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.



1.2 EJE DE SIMETRÍA

Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos.

1.3 CURVA ELÁSTICA

La curva elástica o elástica es la deformada por flexióndel eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a momentos, fuerzas y cargas distribuidas aplicadas sobre la viga.

1.3.1 ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA.- La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos quesufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:


Dónde:
: representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas.
: La ordenada sobre la viga.
: El momento flector sobre la ordenada.
: El segundo momento deinercia de la sección transversal.
: El módulo de elasticidad del material.

La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta(1'):


La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:


Esta última ecuación es interesante porque su generalización a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de LaGrange para placas delgadas:


Dónde:
: es la rigidez de una placa delgada en flexión.

EJEMPLO:Viga deformada por flexión

Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la forma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes, la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la vigay escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación diferencial siguiente:





La solución analítica de la ecuación anterior con cualquiera de las dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:


Para cálculo de se puede programar en el Software científico Matlab de la siguiente manera :
Para calcular el valor de en alguna posición , se puede programar con muchafacilidad, en este caso se elabora un programa, y el mismo que se hace en el en el editor de Matlab.

Es decir:

Para calcular el valor de:


Se calcula con el siguiente programa:

Esta codificación el Software se observa en su editor, como sigue:



CALCULANDO:

Si , entonces se tiene:



1.3.2 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN VIGAS

1.3.2.1 MÉTODO DE INTEGRACIÓN

Este método...