Ecuaciones Diferenciales

Ecuación Diferencial
Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas.
Es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas.
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respectoa una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.
Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas y´, y´´,...,y(n), es decir, una ecuación de la forma:
Enotras palabras, se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figura la derivada o la diferencial de la función incógnita.
FUNDAMENTACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Historia de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, y comienza la segunda etapa (hasta fines del siglo XIX), que hemos llamado Fundamentos, en atención a ...

TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Dependiendo del número devariables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente, por ejemplo:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, , es la derivada de con respecto a .* Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables, por ejemplo:
La expresión
es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuacióndiferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Ecuación diferencial lineal
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma, es decir:
* Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
* En cada coeficienteque aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
* Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
* es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, con k un número real cualquiera.
* es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, con a y b reales.* es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, con a y b reales.
USOS
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
* En dinámicaestructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indicatiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
* La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
*
Donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
Ecuaciones...