Ecuaciones diferenciales

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INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial es una igualdad en la que aparece una incógnita que debemos calcular, sólo que esta incógnita es una función definida en un intervalo, no un número, y la igualdad involucra la función y una o varias de sus derivadas.

El método de resolución numérica de problemas de valor inicial más sencillo es el método creado por Euler en 1768. Aunqueapenas se utiliza en la práctica debido a que es poco exacto, es el germen de métodos posteriores más efectivos.

ECUACIONES EXACTAS

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma:
[pic]

es exacta si el campo vectorial asociado
[pic]

es conservativo.  

Teorema:  
La solución general de la ecuación diferencial exacta
[pic]

está dada por [pic],donde [pic]es la función potencial del campo vectorial [pic].  

Demostración:
Comprobemos que [pic]es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que y es función de [pic], derivamos implícitamente
[pic]

Como [pic]es la función potencial del campo vectorial [pic], [pic]y [pic], de donde
[pic]

Como se quería.

Ejemplo
 
La solución general de la ecuación diferencial
[pic]

es[pic], pues la ecuación diferencial es exacta y como hemos visto [pic] es la función potencial del campo vectorial [pic].
REDUCCION DE ORDEN

Uno de los hechos matemáticos más interesantes en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, es que podemos encontrar una segunda solución y2 para la ecuación homogénea:
a2(x)yʺ + a1(x)yʹ + a0(x)y = 0

en un intervalo Iϵ R, siempre que se conozca una solución y1 no trivial en ese intervalo I.
Considerando que si y1, y2, son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal, homogénea de orden 2 en un intervalo I, entonces el conjunto de soluciones linealmente independiente en I es {y1, y2},(llamado conjunto fundamental de soluciones) donde W [y1, y2] es diferente de cero, para toda x en el intervalo. Ademáspodemos afirmar que el cociente u(x) = [pic] no es una función constante en el intervalo I.

Resolviendo en general una ecuación de la forma

a2(x)yʺ + a1(x)yʹ + a0(x)y = 0

que se puede expresar como:

o bien:

en donde P (x), Q(x) son continuas en algún intervalo I.

Supongamos además que y1(x) es diferente de cero y es una solución conocida en algún intervalo I.
Sidefinimos a y2 como y = u(x)y1(x) entonces al ser solución de la ecuación, podemos derivar y sustituir en la ecuación diferencial de la forma siguiente:

en donde

[pic]

reacomodando la ED

[pic]

donde yʺ 1 + Pyʹ1 + Qy1 = 0 ya que conocemos que y1 es solución de la ecuación, quedando entonces que
[pic]
haciendo que w = uʹ la ED toma la forma
[pic]

que es una ecuación lineal yseparable conocida por nosotros, y por lo tanto lista para ser resuelta
[pic]

Obtenemos:
[pic]

pero como w = uʹ
[pic]

entonces
[pic]

y recordando que y2 = u(x)y1(x)
[pic]

es una segunda solución linealmente independiente de la ecuación diferencial lineal de orden 2.

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial lineal de orden 2.

[pic]
sabiendo que y1 = xe−x.

Solución:Para obtener una segunda solución linealmente independiente que conforme el conjunto de soluciones para el ED, calculamos
[pic]

donde
[pic]

entonces
[pic]

o simplemente
[pic]

por lo que
[pic]

es la solución general de la ecuación diferencial expresada como una combinación lineal del conjunto fundamental de soluciones {y1, y2} = {xe−x, e−x} .

VARIACION DE PARAMETROSSi se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea:
[pic]
empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones:
[pic]o [pic]
que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separable que requiere ser...
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