Ecuaciones Diferenciales

CAPÍTULO

3
Aplicaciones de ED de primer orden

3.2 Decaimiento radioactivo
Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; la cantidad M del material es una función del tiempo t, esto es M D M.t/. Aún más, dadas las características de los materiales radioactivos, al paso del tiempoocurre una desintegración o decaimiento del material. Esto no quiere decir que el material desaparezca, sino que la configuración interna de sus átomos cambia y dejan de ser radioactivos. Experimentalmente se ha llegado al conocimiento de que, en cualquier tiempo t 0, la rapidez de cambio de la cantidad M.t/ de material radioactivo es directamente proporcional a la cantidad de material presente.Simbólicamente esto se expresa así: d M.t/ / M.t/I dt d M.t/ es la rapidez de cambio de M.t/ y el símbolo / denota la proporcionalidad existente entre dt la cantidad presente M.t/ del material radioactivo y su rapidez de cambio. Se afirma entonces que donde dM.t/ D kM.t/I dt (3.1)

donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Debido a la desintegración, la cantidad M.t/ de mad terialradioactivo va disminuyendo (decreciendo) al paso del tiempo t, por lo tanto se tiene que M.t/ < 0, dt lo que nos permite concluir que k < 0 ya que M.t/ 0. Esta ecuación diferencial (3.1) representa el modelo matemático por resolver y es de variables separables. En efecto: dM dM D kM ) D k dt : dt M
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

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2 Integrando se tiene: dM D M

Ecuaciones diferencialesordinarias

k dt ) ln M D kt C C ) M D e k t CC D e k t e C D e k t C:

Entonces la solución general de la ecuación diferencial (3.1) es M.t/ D Ce k t : Es común conocer la cantidad (inicial) de material existente en t D 0, lo que se expresa por M.0/ D M0 . Con esto podemos calcular la constante C : M.0/ D M0 D Ce k 0 D C ) C D M0 : Entonces se tiene: M.t/ D M0 e k t :

De esta última expresiónobservemos que se puede calcular k si se conoce la cantidad de material existente en un tiempo t1 > 0, digamos M.t1 / D M1 < M0 : Â Ã M1 M1 M.t1 / D M1 D M0 e k t1 ) D e k t1 ) ln D kt1 : M0 M0 Así concluimos que kD Observaciones: 1. Un caso particular ocurre cuando M.t1 / D M0 . Esto es, se conoce el tiempo que transcurre para que 2 la cantidad de material inicial decaiga la mitad. Este tiempo seconoce como la vida media del material radioactivo. Denotaremos con tm a este tiempo. En este caso: Â Ã ¨ 1 M 1 ¨0 ¨ D ktm : M .tm / D D ¨ 0 e k tm ) M D e k tm ) ln 2 2 2 Entonces ktm D ln 2, de donde podemos despejar por igual: kD ln 2 tm & tm D ln 2 : k (3.2) ln M1 t1 ln M0

:

Además, en vista de lo anterior podemos afirmar que la vida media de un material no depende de la cantidad inicialdel mismo. 2. Si se proporcionan M.t1 / D M1 & M.t2 / D M2 para dos tiempos t1 < t2 , obtenemos los siguientes resultados: M.t1 / D M1 D Ce k t1 ; M.t2 / D M2 D Ce
k t2

(3.3)

:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, C y k. Para resolverlo podemos dividir la segunda ecuación entre la primera y así obtenemos: Â Ã M2 Ce k t2 e k t2 M2 D D k t D e k.t2 t1 / ) ln D k.t2 t1/: M1 Ce k t1 e 1 M1 Despejamos k: kD ln M2 t2 ln M1 : t1 (3.4)

3.2 Decaimiento radioactivo Además, tenemos también de (3.3): M1 D Ce k t1 ) C D M1 e Por lo tanto, al sustituir en M.t/ D Ce k t : M.t/ D M1 e k.t en donce k es el valor obtenido en (3.4).
t 1/ k t1

3

:

;

Ejemplo 3.2.1 Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidadpresente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, después de dos años, se observa que el 5% de la masa original se desintegró, determinar: 1. Una expresión para la masa al momento t. 2. El tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original. H Si M.t/ es la cantidad presente (en miligramos) de material radioactivo al cabo de t años, entonces M.t/ está dada por la...