Ecuaciones diferenciales

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Figure 1: Ejercicio 1

ECUACIONES DIFERENCIALES M en C. Miguel Olvera Aldana. M en C. Jorge Javier Silva Martinez. Profesores del depto. de Ciencias Básicas ESCOM- IPN octubre del 2008 UNIDAD I: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales ~~~En los Problemas reproduzca el campo de direcciones generado por computadora. Luego gra…que a mano una curva solución aproximada que pase por los puntosque se indican. Utilice lápices de colores distintos para cada durva de solución. dy 1. dx = x2 y 2 a) y ( 2) = 1 b) y (3) = 0 c) y (0) = 2 d) y (0) = 0 Sol. dy 2. dx = 1 xy a) y (0) = 0 b) y ( 1) = 0 c) y (2) = 2 d) y (0) = 4 Sol. ~~~En los problemas utilice software de computadora para obtener un campo de direcciones para la ecuación diferencial. A mano, trace una curva solución aproximada quepase por cada uno de los puntos. dy 3. dx = x a) y (0) = 0 b) y (0) = 3 Sol. dy 4. y dx = x a) y (1) = 1 b) y (0) = 4 Sol. dy 5. dx = 0:2x2 + y 1

Figure 2: Ejercicio 2

Figure 3: Ejercicio 3

Figure 4: Ejercicio 4

2

Figure 5: Ejercicio 5

Figure 6: Ejercicio 6

b) y (2) = 1 Sol. dy 6. dx = y cos 2 x a) y (2) = 2 b) y ( 1) = 0 Sol. Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden~~~Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación de variables dy 1. dx = sin 5x Sol. dy = sin 5xdx Integrando y = cos 5x + C y = cos 5x + C

a) y (0) =

1 2

3

2. dx + e3x dy = 0 Sol. dx dy e3x = Integrando R R dy = e: 3x dx R R : 3x d e dx = 1 eu du = 3 u = 3x ) du = 3dx 1 y = 3 e 3x + C y = 1e 3 3. Sol.
dy x dx dy 4y 3x

1 3x 3e

+C

C

= 4y = dx x Integrando ln(4y) = ln (x) + C eln(4y) = eln(x)+C 4y = Cx
Cx 4 3x+2y

y=

dy 4. dx = e Sol. dy 3x e2y = e dx Integrando R R 2y e dy = e3x dx 1 1 2y = 3 e3x + C 2e 2 3x 2y e = 3e + C ln e 2y = ln 2 e3x + C 3 2 2y = ln 3 e3x + C

y=

ln( 2 e3x +C ) 3 2 2

5. y ln (x) dx = y+1 dy x Sol. 2 y ln (x) dx = y +2y+1 dy x2 x2 ln (x) dx = y +2y+1 dy y Integrando R 2 R 2 x ln (x) dx = y +2y+1 dy y R R 3 3 3 1 dx2 ln (x) dx = x ln(x) 3 x2 dx = x ln(x) x 3 3 9 3 1 u = ln (x) ) du = x dx ) dv = x2 dx ) v = x 3 R y2 +2y+1 R R R 2 dy = ydy + 2 dy + dy = y2 + 2y + ln (y)c y y
x3 ln(x) 3 x3 9
2

=
2

y2 2

+ 2y + ln (y)

6. csc (y) dx + sec (x) dy = 0 Sol. dy dx sec2 (x) = csc(y)

4

dx
1 cos2 (x)

=

dy
1 sin(y)

y = arccos
2

Integrando R R cos2 (x) dx = sin (y) dx 1 x 1 sin (2x) =cos (y) + C 2 2
1 2x 1 2 sin (2x) 3 x x

C

7. (ey + 1) e y dx + (e + 1) e dy = 0 Sol. 2 3 (ey + 1) e y dx = (ex + 1) e x dy y x dy e dx = (ee +1)2 y (ex +1)3 Integrando R y R ex dx e dy = 2 y (ex +1)3 R ex dx (e +1)R du 1 d = u3 = 2u2 = (ex +1)3 x x pu 1 R ey dy = e R+du ) du 1= e dxy = u2 = u = ey1 +1 (ey +1)2 pu = ey + 1 ) du = ey dyyc 1 1 2(ex +1) = ey +1 + C 1 e y 1 = 2(ex +1) + C e
dSdr y

1 2(ex +1)

=

1 2(ex +1)

1+C

8. = kS Sol. dS S = kdr Integrando R dS R kdr S = ln (S) = kr + C eln(S) = ekr+C S = Cekr dP 9. dt = P P 2 Sol. dt = P dP 2 P Integrando R R dt = P dP 2 P R R dP R d P dP 2 = P (1 P ) = P A B pP 1 P
A P

dP P

+

R

dP 1 P

=

1 P (1 P )

P

P =0

=1 P)
P =1

B 1 P

=

1 P (1 P )

(1

= 1yc

t = ln (P ) + ln (1 10.Sol.
dy dx dy dx

P) + C

= =

xy+3x y 3 xy 2x+4y 8 x(y+3) (y+3) x(y 2)+4y 8

5

(y+3)(x 1) dy dx = (y 2)(x+4) (y 2) (x 1) (y+3) dy = (x+4)

y 11. Sol.
dy dx

dy

5 ln (y + 3) = x p = x 1 y2
1

dx ***Haciendo la División*** 5 5 1 y+3 dy = 1 x+4 dx Integrando R R dx R R dy dy 5 y+3 = dx 5 x+4

5 ln (x + 4) + C

(1 y 2 ) 2

= xdx

Integrando R R dy xdx 1 = (1 y 2 ) 2 R Rdy d 1 = 2
(1 y ) 2

cos d (1 sin2
1 )2

=

sin = y ) cos d = dyc 2 arcsin (y) = x + C 2
x2 2

R

d =

y = sin

+C

12. 1 + y 2 dx + 1 + x2 dy = 0 Sol. Separando las variables 1 + y 2 dx = 1 + x2 dy dy dx (1+x2 ) = (1+y 2 )
dy + (1+y2 ) = 0 Integrando R dx R dy 2 = 0 1+x2 + R dx1+y R sec2 d R 2 dp 1+x2 = 1+tan2 = sec 2 d sec R = d = ) x = tan =) dx = sec2 d y R dy R sec2 d R 2...
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