Ecuaciones diferenciales

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MOVIMIENTO FORZADO

Con amortiguamiento y con una fuerza externa que actúa sobre una masa oscilante sujeta a un resorte, como por ejemplo una fuerza impulsadota f(t), al formularla Segunda Ley de Newton se obtiene la ecuación que describe el movimiento forzado.

O también

Esta ùltima ecuación no homogènea puede resolverse indistintamente por el métodode coeficientes indeterminados o por el mètodo de variación de parámetros.
Sin amortiguamiento y con una fuerza externa que es periòdica y tiene la forma

La ecuacióndiferencial que describe el movimiento es

donde

Se presentan dos posibilidades.

1.
La solución tiene la forma


que es la suma de dos funciones.2.

Este caso se conoce como resonancia y la ecuación diferencial del movimiento si la masa es m es

La solución es del tipo

La suma de los primeros términos es unafunción periódica, sin embargo el tercer término representa una solución con amplitud creciente, lo que da oscilaciones no acotadas. Este fenómeno se llama resonancia pura.Términos transitorios y estacionarios
Cuando f es una función periódica como

la solución de la ecuación

consiste en

Ejemplo 1
Interpretar y graficar

Solución:

Como sepuede apreciar en la figura el efecto del término transitorio es insignificante.

Ejemplo 2
Un resorte se estira 20 cm por efecto de una fuerza de 8000 dinas. Una masa de 4 gramosse suspende del resorte. Luego se aplica una fuerza dada de f (t)=60cosyt,-----------------. Asumiendo que el amortiguamiento es despreciable, encontrar la posición de la masa encualquier tiempo y los valores para los cuales ocurrirá la resonancia.
Solución

La ecuación que describe el movimiento es

Se aplica el método de coeficientes indeterminados
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