Ecuaciones diferenciales

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Álgebra de bloques

Para que sirven
• Sirven para representar relaciones entrada-salida de partes de un sistema, y mediante reglas sistemáticas construir una función de transferencia global del sistema

Modelado de Sistemas

Contenido
• Por qué modelar • Tipos de modelos abordados • Sistemas eléctricos • Sistemas mecánicos • Sistemas hidráulicos

Por qué modelar
• Es unaabstracción del sistema real • Permite predecir comportamientos sin necesidad de hacer evolucionar el sistema • Permite determinar cómo modificar al sistema • El modelo no es único, depende lo que que se quiera resaltar del sistema se tendrá un modelo u otro. • Los diferentes modelos son “congruencias dinámicas” entre sí. • El modelo más simple que captura lo que se requiere estuduiar es el mejor

Tiposde modelos abordados
•Variables de estado.- Es una representación del sistema donde se resalta el comportamiento interno del mismo. La representación común en sistemas lineales (SL) es:

x = Ax + bu y = Cx
•Es el modelo de estado. X es un vector de n entradas, A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxq y C es una matriz de pxn



Tipos de modelos abordados
•Función detransferencia.- Es la relación salida/entrada en el dominio de Laplace que presenta el sistema, suponiendo que las condiciones iniciales son iguales a cero

y( s) = FT ( s ) u ( s)
u(s) y(s) FT(s)

•.

Sistemas Eléctricos
Elemento Resistencia Capacitancia Voltaje v(t) v(t)=Ri(t)
1 v (t ) = ∫ i (t )dt C

Corriente i(t) i(t)=v(t)/R

Voltaje V(s) V(s)=RI(s) V(s)=I(s)/sC

Corriente I(s) I(s)=V(s)/RI(s)=sCV(s)

dv (t ) i (t ) = C dt
i (t ) =

Inductancia

v (t ) = L

di(t ) dt

1 V(s)=sLI(s) v( t )dt L∫

I(s)=V(s)/sL

En un transformador, la potencia del primario es igual a la del secundario. Si n1, n2 son el número de espiras en el primario y secundario respectivamente, entonces el voltaje en el secundario es V2=V1(n2/n1), donde V1 es el voltaje en el primario

SistemasEléctricos
Se utilizan las mallas y nodos para hacer el análisis Se requiere encontrar Vo(s)/Vin(s) Siguiendo la malla se tiene que Vo(s)=I(s)/sC I(s)=[Vin(s)-Vo(s)]/R

Vin(s)

+ 1/R + 1/sRC -

I(s) 1/sC

Vo(s)

En diagaramas de bloques

Vin(s)

Vo(s)

Vin(s)

1 1 sRC = 1 sRC + 1 1+ sRC

Vo(s)

Sistemas Eléctricos
1 Vin( s) = R1I 1( s) + I 3( s ) sC 1 1 I 3( s) = R 2 I 2( s)+ Vo( s) sC 1 1 Vo( s) = I 2(s ) sC 2 I 3( s) = I 1( s ) − I 2 ( s )
De cada ecuación despejamos la señal que no se conozca. De la primera ecuación despejamos I1 (Vin es la entrada y siempre se conoce) Dela segunda ecuación despejamos I2 (I3 ya es conocida en la ec 4) Tres y cuatro ya están despejadas.

Sistemas Eléctricos
Vin(s) 1/R1 1/sR1C1 + I1(s) -

I 1( s ) =

Vin( s ) 1 − I 3( s )R1 sR1C1

I3(s)

1 Vo ( s) I 2(s ) = I 3( s ) − sR 2C1 R2

I3(s) Vo(s)

1/sR2C1 1/R2

+ I2(s) Vo(s)

1 Vo ( s ) = I 2( s ) sC 2

I2(s) I1(s)

1/sC2 + I3(s) I2(s) -

I 3( s ) = I 1 ( s ) − I 2 ( s )

Sistemas Eléctricos
+ I1(s) I2(s) + I3(s) 1/sR2C1 1/R2 + I2(s) 1/sC2 Vo(s)

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

Recorremos esta línea de I2

Sistemas Eléctricos
+ I1(s) I2(s) +I3(s) 1/sR2C1 1/R2 + I2(s) 1/sC2 Vo(s)

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

sC2

Sistemas Eléctricos
Es un bloque de retroalimentación + I1(s) I2(s) + I3(s) 1/sR2C1 1/R2 + I2(s) 1/sC2 Vo(s)

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

sC2

Sistemas Eléctricos
+ I1(s) I2(s) + I3(s) 1/sR2C1 R2/[sC2R2+1]

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

Vo(s)

sC2

Sistemas Eléctricos
Dos bloques en cascada +I1(s) I2(s) + I3(s) 1/sR2C1 R2/[sC2R2+1]

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

Vo(s)

sC2

Sistemas Eléctricos
+ I1(s) I2(s) + I3(s) R2/[s2R1R2C1C2+SR2C1]

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

Vo(s)

sC2

Sistemas Eléctricos
+ I1(s) I2(s) + I3(s) R2/[s2R1R2C1C2+SR2C1]

Vin(s) I3(s)

1/R1 1/sR1C1

Vo(s)

Recorrer este punto hacia adelante

sC2

Sistemas Eléctricos
Bloque con...
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