Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuacionesen derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
* En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
* Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguende las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
* Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
* Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada lateoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

*
* de x siendo y(n) la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
* (1)
* Si y es una función desconocida:
* es llamada una ecuación diferencial ordinara(EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,
* ,
* la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.
* Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma
*
* es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma
*
* es llamada una ecuación diferencial explícita.
* Una ecuación diferencial que nodepende de x es denominada autónoma.
* Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y
*

* siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el termino fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamadano homogénea.

* En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en elespacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
Métodos de un paso. Métodos Runge-Kutta
(1)Escribir la ecuación diferencial:

y(3) = ay(2) + by(1) + cy + _(x),
en forma de un sistema lineal de primer orden. Demostrar ademas que si(x) es una
solucion particular de la ecuacion, entonces ( (x), 0(x), 00(x))T es una solucion particular
del sistema obtenido.
2) La ecuacion y(3)+y = x2+e−2x tiene una solucion particular (x) = x2 − e−2x/7 .
Usando el resultado del ejercicio anterior, construir el sistema equivalente y hallar la solucion general de este.
3) Hallar la solucion general de la ecuacion en diferencias:yn+2 − 2μyn+1 + μyn = 1 con 0 < μ < 1
Calcular el lımite de la sucesion solucion.
4) Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y que después
de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. Calcular el número de
parejas nacidas en el n-´esimo mes y el lımite del coeficiente de natalidad.
5) Encontrar la solucion del problema
yn+4 − 4yn+3 +...