Ecuaciones Diferenciales
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, MATEMÁTICAS Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Apuntes y Guías de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales
Apuntes de Clases
Lidia Ortega Silva
4a Edición, Santiago – Chile, septiembre 2010
PRÓLOGO Este apunte se ha generado mediante una recopilación de clases realizadas en la UTEM, durante variossemestres, sobre el tema de ecuaciones diferenciales ordinarias, de acuerdo a lo estipulado en el programa de estudio para esta asignatura. La transposición didáctica aplicada es fruto de la experiencia de esos semestres. El claro sentido de este material, es entregar los contenidos y algunos ejemplos de ejercicios con sus desarrollos para su ejercitación y análisis, así como también autoevaluaciones yejercicios propuestos para enfrentar de mejor manera la asignatura. En este apunte encontrará el desarrollo de 12 unidades temáticas: Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden En esta unidad se analizan los conceptos de ecuación diferencial, la solución de una ecuación diferencial y el teorema de existencia- unicidad. Unidad 2: Tipos de ecuacionesdiferenciales ordinarias de primer orden En esta unidad se estudian las ecuaciones diferenciales de variables separables, las homogéneas, las de coeficientes lineales, las exactas, las lineales, la ecuación de Bernoulli, la ecuación de Riccati y la ecuación de Clairaut, además de la reducción de ecuaciones de 2º orden a 1er orden. Unidad 3: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primerorden. En esta unidad se ven las siguientes aplicaciones: trayectorias ortogonales, problemas geométricos, problemas de crecimiento y decrecimiento, donde destacamos: problemas de enfriamiento y problemas de mezclados, problemas mecánicos y problemas de circuitos eléctricos. Unidad 4: Solución de ecuaciones diferenciales mediante una técnica cualitativa. En esta unidad se estudian campos dedirecciones para ecuaciones diferenciales autónomas, puntos de equilibrio y línea de fase, bifurcaciones, estabilidad de una solución de equilibrio y la aplicación del análisis cualitativo a la dinámica poblacional. Unidad 5: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. En esta unidad se ven los teoremas fundamentales relacionados con la solución general de estas ecuaciones. Se analiza la solucióncomplementaria de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, la independencia lineal de las soluciones mediante el wronskiano, la solución particular mediante el método de los coeficientes indeterminados y mediante el método de variación de parámetros. Unidad 6: Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables que pueden transformase en ecuaciones lineales con coeficientesconstantes. En esta unidad se analizan las ecuaciones de Euler y otros tipos de ecuaciones. Unidad 7: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales. En esta unidad se estudian las vibraciones en sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, oscilaciones de un péndulo simple y oscilaciones verticales de un cuerpo flotando en un líquido.
Unidad 8: La transformada de Laplace. En esta unidad se venlas propiedades de la transformada de Laplace y su aplicación a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes, y con condiciones iniciales. Unidad 9: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En esta unidad se analizan tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: el método de eliminación gaussiana, la regla de Cramer, y el método dela transformada de Laplace. Aplicaciones a resortes acoplados, redes eléctricas y problemas de mezclados. Para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneos, se considera su forma matricial y su solución mediante valores propios y vectores propios. Para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos se aplica el método de los coeficientes indeterminados y...
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