Ecuaciones Diferenciales

Ejemplos de Modelaciones Primer Orden
Rub´n Tobar Quiroz
e

1.

Mezclas

En una refineria de petr´leo, un tanque de almacenamiento contiene 1000 litros de gasolina que inicialmente tiene 250
o
gramos de un solvente disuelto. Se bombea gasolina conteniendo 5 gramos del solvente por litro al tanque a una raz´n de 2
o
litros por segundo. La soluci´n bien mezclada se bombea a una raz´n de10 litros por segundo. Cu´nto solvente hay en el
o
o
a
tanque luego de 100 segundos?

Figura 1: Mezclas
Soluci´n: Para generalizar Vin = volumen entrante, Vout = volumen salida, s = la cantidad de solvente en el tanque,
o
ρin = densidad de solvente entrante, ρout = densidad de solvente saliente, rin = raz´n de solvente entrante, rout = raz´n de
o
o
solvente saliente.
La variaci´n dela cantidad de solvente es ds/dt y est´ dada por la diferencia de razones, esto es
o
a
ds
= rin − rout
dt
Y empezamos...
V (t) = Vi + (Vin − Vout ) · t = 1000 + (2 − 10) · t = 1000 − 8t

rout

rin = Vin · ρin = 2 · 5 = 10
s(t)
s(t)
= 10 ·
= Vout · ρout = Vout ·
V (t)
1000 − 8t
10s
ds
= 10 −
dt
1000 − 8t

Para resolverla reacomodamos...
s+
Es lineal!!
10
µ(t) = e 1000−8t10
s = 10
1000 − 8t

1
(500 − 4t)5/4
10
s(t) = (500 − 4t)5/4 ·
+C
(500 − 4t)1/4
dx

=

19
Condici´n inicial s(0) = 250 =⇒ C = − √
o
4
2 500
Lo que nos da que la cantidad de solvente en el instante t dentro del tanque es
19
s(t) = 5000 − 40t − √
(500 − 4t)5/4
4
2 500
19
Y finalmente lo que pedian... s(100) = 1000 − √
1005/4 ≈ 364,697 gramos.
2 4 500
1

1.1.Ejercicios (Thomas, Kreyszig)

1. Un tanque inicialmente contiene 100 galones de salmuera en el cual 50 libras de sal son disueltas. Una salmuera
conteniendo 2 libras por gal´n de sal entra dentro del tanque a una raz´n de 5 galones por minuto. La mezcla se
o
o
mantiene uniforme al revolverlo y sale del tanque a una raz´n de 4 galones por minuto.
o
a ) A que raz´n entra la sal en el instante t?
o
b ) Cu´l es el volumen de salmuera en el tanque en el instante t ?
a
c ) Cu´l es la raz´n a la que sale la sal en el instante t ?
a
o
d ) Escriba y resuelva el problema de valor inicial describiendo el problema de mezcla
e ) Encuentre la concentraci´n de sal a los 25 minutos.
o
2. Una sala de conferencia tiene 4500 ft3 de aire inicialmente libre de monoxido de carbono. Comenzando ent = 0, el
humo de cigarro conteniendo 4 % de monoxido de carbon se dispersa en el aire, manteniendose este homogeneo por los
ventiladores. El aire deja la sala a una razon de 0.3 ft3 por minuto. Encuentre el instante en que la concentraci´n de
o
mon´xido de carbono en la sala alcance el 0.01 %
o
3. Un tanque contiene 1000 galones de agua en el cual inicialmente 100 libras de sal est´ndisueltas. Entra salmuera a
a
una raz´n de 10 galones por minuto, y cada gal´n contiene 5 libras de sal disuelta. La mezcla en el tanque se mantiene
o
o
uniforme. La salmuera sale a una raz´n de 10 galones por minuto. Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier
o
instante t. Cuando haya pasado mucho tiempo, cu´nta sal habr´ en el tanque?
a
a
4. Un tanque contiene 800 galones deagua en el cual 200 libras son disueltas. Dos galones de agua fresca entrar por minuto
y 2 galones del agua del tanque bien mezcladas salen por minuto. Cu´nta sal queda en el tanque luego de 5 horas?
a
5. Un tanque contiene 100 galones de agua fresca. Una soluci´n que contiene 1 libra de fertilizante para pastos es bombeada
o
hacia el tanque a unra razon de 1 gal´n por minuto, y la mezcla essacada homogenea a una raz´n de 3 galones por
o
o
minuto. Encuentre la m´xima cantidad de fertilizante en el tanque y cu´nto tiempo se requiere para alcanzar el m´ximo.
a
a
a
6. Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene k gramos de sal por litro, a raz´n de 1.5
o
litros por minuto. Si la concentraci´n es 20 gramos por litro al cabo de 20 minutos. Hallar el...