Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Juan Piccini
17 de noviembre de 2003
Este material est´ basado en notas confeccionadas por Alvaro Pardo y matea
rial de los libros ”Numerical Methods”de Dahlquist y Bj¨rck, Ed. Prentice- Hall;
o
”Numerical Analysis”, de Jacques y Judd, Ed. Chapman and Hall,”Numerical
Methods and Software”de Kahaner, Moler y Nash, Ed.Prentice-Hall.
Al igual que losmateriales anteriores, ´stos son meros apuntes pene
sados para ayudar, no para sustitu´ a los libros (¡¡ hay a˜os-luz
ır
n
de distancia entre estos apuntes y un buen libro !!). Por tanto recomiendo fuertemente que no se queden solamente con esto, vayan a
las fuentes.
Introducci´n
o
Muchos problemas que se plantean en varias ramas de la Ciencia e Ingenier´
ıa
resultan en una ecuaci´ndiferencial ordinaria (edo) de primer orden, de la foro
ma:
y = f (x, y ), o ∂y ∂ x = f (x, y )
donde f : f (x, y (x)) es una funci´n dada e y es una funci´n desconocida de la
o
o
variable independiente x. El lector habr´ visto en los cursos correspondientes,
a
que bajo ciertas condiciones de regularidad para f , existe una familia de soluciones definida en un cierto intervalo [a, b], y que cuandocontamos con una
condici´n inicial y (x0 ) = y0 , hay una unica soluci´n ; esto es, una funci´n y tal
o
´
o
o
que y (x) = f (x, y ), y (x0 ) = y0 .
Sin embargo, cuando resolvemos num´ricamente una ecuaci´n diferencial, la
e
o
soluci´n que obtenemos ya no es una funci´n y , continua y diferenciable, sino
o
o
que es una sucesi´n y0 , y1 , ..., yn , de la cual se espera que est´ cerca delos valo
e
ores de la soluci´n ”exacta”en un cierto conjunto de puntos. M´s precisamente,
o
a
deber´ ocurrir yk ≈ y (xk ) ∀ k = 0, 1, 2, ..., n.
a

1

Para obtener dicha ”soluci´n”(num´rica), lo que hacemos es (¿adivinan?) diso
e
cretizar el problema. Esto significa que solamente calcularemos el valor de la
soluci´n y (x) en un conjunto finito y discreto de puntos, distinto de lo queuno
o
hace cuando resuelve anal´
ıticamente la ecuaci´n, donde se halla la soluci´n en
o
o
un intervalo continuo de puntos. Por ejemplo, si [a, b] = [x0 , xF ] = [0, 1], la soluci´n puede calcularse en los puntos 0; 0,01; 0,02; ...; 0,99; 1. Para estimar el valor
o
de la soluci´n en un punto cualquiera, se utiliza alg´n tipo de interpolaci´n. El
o
u
o
conjunto discreto de puntos notiene por qu´ ser equiespaciado. En ocasiones
e
hay zonas donde la soluci´n var´ muy r´pido, y all´ es conveniente elegir m´s
o
ıa
a
ı
a
puntos para poder seguir mejor a la funci´n. En zonas donde la soluci´n es ”m´s
o
o
a
lenta”, pueden tomarse menos puntos.
Como de costumbre cuando resolvemos num´ricamente un problema matem´tico,
e
a
tendremos varias fuentes de error: El error detruncamiento o modelado. Dicho
error proviene de aproximar el objeto ”real”por una versi´n discretizada. Como
o
veremos luego, en lugar de resolver la ecuaci´n diferencial ”verdadera”, lo que
o
hacemos es resolver una ecuaci´n en diferencias, que es la versi´n discretizao
o
da de la ecuaci´n diferencial. Aunque los c´lculos subsiguientes se hicieran en
o
a
aritm´tica exacta (de ”l´piz ypapel”), este error de modelado o truncamiento
e
a
siempre existir´.
a
Pero adem´s la computadora no trabaja con aritm´tica exacta, por lo que los
a
e
c´lculos necesarios para resolver la ecuaci´n en diferencias tendr´n error de rea
o
a
dondeo, y el resultado ser´ la versi´n num´rica de la ecuaci´n en diferencias,
a
o
e
o
por lo que nuestra salida ni siquiera ser´n aquellos yk , = 0,1, ..., n, sino que lo
a
que en realidad tendremos ser´n puntos yk , k = 0, 1, ..., n. Veremos luego que
a
estos tres objetos (la ecuaci´n diferencial, la ecuaci´n en diferencias y la versi´n
o
o
o
num´rica de la ecuaci´n en diferencias), se hallan vinculados por los conceptos
e
o
de consistencia, convergencia y estabilidad num´rica.
e
Ecuaciones de primer orden
Como dijimos antes,...