Ecuaciones diferenciales

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Aplicaciones a la Biología: Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta lamisma humanidad sorprende a la imaginación. Crecimiento Biológico: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era: dy / dt = y con solución y = ce Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que eldecaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0. Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si > 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer,habiendo conseguido el tamaño máximo. Formulación Matemática: Supongamos que y denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces: dy / dx = F(y) y = Yo para t=0 Donde Yo representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida.Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = y − y² , y = Yo para t = 0. Puesto que la ecuación F(y) = y − y² es de variables separables, tenemos dy / y − y² = dt ó " dy / y ( − y) = t + c esto es, "1/ [1/y + / − y]dy = t + c = 1/ [ln y − ln ( − y)] = t + c Usando la condición y resolviendo en y = Yo ent = 0 se obtiene que: Y=/__ 1

1 + [/ / Yo − 1] e Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que > 0, que: Ymax = lim Y = / t!" Por simple álgebra encontramos: Ymax = lim Y = Y1(Yo − 2YoY2 + Y1Y2) t!" Y1² − YoY2 Ejemplo: Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la alturamedia de varones adultos con pleno crecimiento. Edad Nacimiento 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años 8 años Altura (pul) 19.4 31.3 34.5 37.2 40.3 43.9 48.1 52.5 56.8

solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8. Sustituyendo estos valores en laecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida. Problemas de Epidemiología: Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiologíaK, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia. Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a losestudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer...