Ecuaciones diferenciales1

UNIDAD 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN

1. Variables Separables

2. Variables Homogéneas

3. Exactas. Factores Integrantes

2.4 Lineales

2.5 No Lineales a Lineales

2.5.1 Bernoulli
2.5.2 Ricatti
2.5.3 Clairaut

2.6 Aplicaciones

2.7 Sección de Problemas

2.7.1 Problemas Resueltos
2.7.2 Auto Evaluación
2.7.3 Solución de la AutoEvaluación
Objetivos particulares de la unidad.- El alumno resolverá Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden por diversos métodos.

INTRODUCCIÓN

En la presente unidad se estudiarán los métodos de solución para las ecuaciones diferenciales de primer orden; se inicia con el método de Separación de Variables para continuar con el método de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas. Posteriormente, seresuelven ED que se pueden clasificar como Exactas, y para las que no son exactas se obtiene un Factor Integrante con lo cual se transforman a este tipo. También se resuelven ED Lineales y se estudiaran tres casos particulares, en los cuales las ED son No lineales, pero con un cambio adecuado de variable se transforman en Lineales; estos tres casos son las ecuaciones de Bernoulli, Ricatti y Clairaut.Finalmente se presentan algunas aplicaciones de la ED de Primer Orden, enfocadas principalmente a la Teoría de Circuitos Eléctricos. Al igual que en la unidad anterior se proponen una serie de ejercicios para que el alumno aplique los conocimientos adquiridos en la unidad presente.

1. Variables Separables

Se dice que una Ecuación Diferencial de Primer Orden es de Variables Separables si sepuede representar de la siguiente forma:

[pic]
Por ejemplo, las ecuaciones

[pic]

[pic]

Son de Variables Separables; en la primera al multiplicar por 1/x se obtiene la expresión:

[pic]

Se aprecia que en este caso g(x) = 1/x, mientras que h(y)=y

La segunda ecuación, aplicando un poco de álgebra, se puede rescribir como:

[pic]

Para este ejemplo g(x)=-x2 mientras que h(y)=1/yUna vez que se comprueba que la ED es de Variables Separables, para su solución se deben de agrupar la función h(y) con el diferencial de y, y a su vez la función g(x) con el diferencial de x. Así, para la primera ED, se tiene

[pic]

Integrando a ambos lados (recuerde que es una igualdad y para que ésta no se altere, las operaciones que se realizan a un lado de ella, también deberán derealizarse al lado contrario)

[pic]
Resolviendo,

[pic]

Despejando la variable dependiente, en este caso y,

[pic]

Aplicando leyes de la función exponencial (en general, de los exponentes)

[pic]

Al aplicarle la función exponencial a una constante, el resultado es otra constante, por lo tanto se llega a la Solución General:

[pic]

Para comprobar el resultado que se obtuvo,hay que recordar que lo único que debe de hacerse es sustituir la solución en la ED, al hacer las operaciones se debe de cumplir la igualdad, es decir:
[pic]
2. Variables Homogéneas

Una ED de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es de Variables Homogéneas (o de Coeficientes Homogéneos) de grado n, si se cumple que:

M(tx,ty)=tnM(x,y)

y además,

N(tx,ty)=tnN(x,y)

Ejemplo: Diga si lassiguientes Ecuaciones Diferenciales son o no de Coeficientes Homogéneos:

|a) [pic] |d) [pic] |
|b) [pic] |e) [pic] |
|c) [pic]|f) [pic] |

Para el inciso a) se identifica M(x,y)=x+y mientras que N(x,y)=x-y por lo tanto se tiene que:

|[pic] | |[pic] |
| | |...