Ecuaciones diofántcas

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INTRODUCCION.

Uno de los matemáticos que más fama dieron a Alejandría fue Diofanto, quien vivió en la época de Pappo o quizás un poco antes (siglo IV). Diofanto se consagró al álgebra, y ha legado a la posteridad el término ecuaciones diofánticas, que se refieran a las de soluciones enteras.


Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la quefalleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposay, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad." donde es la edad que vivió Diofanto según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió. Si es el mismo astrónomo Diofantoque comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Pappus le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia el año365, fecha que aceptan los historiadores. Importante fue también su contribución en el campo de la notación. Si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (st) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (d? para elcuadrado, dd? para el duplo del cuadrado, ?? para el cubo, d?? para la quinta potencia, etc.).

CUERPO DE TRABAJO.

Análisis diofántico
Actualmente, el análisis diofántico es el área de estudio donde se buscan soluciones enteras para las ecuaciones, y las ecuaciones diofánticas son aquellas ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros de las que sólo se buscan soluciones enteras. Por logeneral, es bastante difícil decir si una determinada ecuación diofántica tiene solución. La mayoría de los problemas en Aritmética llevaban a ecuaciones cuadráticas. Diofanto consideró 3 tipos diferentes de ecuaciones de segundo grado:
ax2 + bx = c
ax2 = bx + c
ax2 + c = bx


La razón por la cual él consideró tres casos, mientras que hoy sólo tenemos uno, es que él no tenía ninguna noción de ceroy que evitaba los coeficientes negativos, considerando que los números a, b, c eran positivos en cada uno de los tres casos anteriores. Diofanto siempre se quedaba satisfecho con una solución racional y no requería un número entero como solución, aceptando las fracciones como soluciones a sus problemas. Diofanto considera las soluciones negativas y las raíces cuadradas irracionales como"inútiles", "sin sentido" e incluso "absurdas". Para dar un ejemplo concreto, que él llama a la ecuación 4 = 4x + 20 "absurda" porque conduciría a un valor negativo de x. El sólo buscaba una solución en las ecuaciones de segundo grado. No hay evidencia que sugiera que Diofanto alguna vez se diera cuenta de que podía haber dos soluciones en una ecuación cuadrática.

LA ARITMÉTICA DE DIOFANTO

LaArithmetica de Diofanto fue un tratado de 13 libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fué encontrada en Venecia por Johann Müller (Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán).

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas (150). No se sabe cuántos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una...
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