Ecuaciones Exponenciales Y Logaritmicas
Páginas: 5 (1021 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2015
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece
en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1.
2.
3. Las propiedades de las potencias.
a0 = 1
a1 = a
am · a n = am+n
am : a n = am - n
(am)n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
Matemáticas IV
Ing.Alexandro Reyes
Resolución de ecuaciones exponenciales
Caso 1
Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la
misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.
Ejemplos
1.
2.
3.
Caso 2
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la
fórmula:
Ejemplo
Caso 3
Cuando tenemos una ecuación máscompleja podemos recurrir a un cambio de
variable.
Ejemplos
1.
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el
cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.
Matemáticas IV
2.
3.
Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.
Ing.Alexandro Reyes
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y
en el primer miembro aplicamos la propiedad:
Despejamos la x
Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el
segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo,
que no existe.
Caso 4
Para despejar una incógnitaque está en el exponente de una potencia, se toman
logaritmos cuya base es la base de la potencia.
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Ejemplo
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las
incógnitas aparecen en los exponentes.
Resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales
Caso 1
Igualar los esponentes si los dos miembrostienen potencias con la misma base.
Ejemplo
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Igualamos exponentes y resolvemos el sistema.
Caso 2
Realizar un cambio de variable.
Ejemplo
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el
cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos el sitema.
MatemáticasIV
Ing. Alexandro Reyes
Deshacemos el cambio de variable
Logaritmos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se
debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.
EJEMPLOS
1.
2.
3.
4.
5.
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
6.
7.
8.
Logaritmos decimales y neperianos
Logarítmos decimales
Los logarítmos decimalestienen base 10. Se representan por log (x).
Logarítmos neperianos
Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Propiedades de los logaritmos
El logaritmo se define como:
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número negativo.
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
Ellogaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Propiedades
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor:
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Ejemplo
3. Ellogaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base:
Ejemplo
4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz:
Ejemplo
5. Cambio de base:
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Ejemplo
Ecuaciones logarítmicas
Ecuación logarítmica
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita...
Ing. Alexandro Reyes
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece
en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1.
2.
3. Las propiedades de las potencias.
a0 = 1
a1 = a
am · a n = am+n
am : a n = am - n
(am)n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
Matemáticas IV
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Resolución de ecuaciones exponenciales
Caso 1
Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la
misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.
Ejemplos
1.
2.
3.
Caso 2
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la
fórmula:
Ejemplo
Caso 3
Cuando tenemos una ecuación máscompleja podemos recurrir a un cambio de
variable.
Ejemplos
1.
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el
cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.
Matemáticas IV
2.
3.
Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.
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Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y
en el primer miembro aplicamos la propiedad:
Despejamos la x
Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el
segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo,
que no existe.
Caso 4
Para despejar una incógnitaque está en el exponente de una potencia, se toman
logaritmos cuya base es la base de la potencia.
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Ejemplo
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las
incógnitas aparecen en los exponentes.
Resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales
Caso 1
Igualar los esponentes si los dos miembrostienen potencias con la misma base.
Ejemplo
Matemáticas IV
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Igualamos exponentes y resolvemos el sistema.
Caso 2
Realizar un cambio de variable.
Ejemplo
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el
cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos el sitema.
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Deshacemos el cambio de variable
Logaritmos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se
debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.
EJEMPLOS
1.
2.
3.
4.
5.
Matemáticas IV
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6.
7.
8.
Logaritmos decimales y neperianos
Logarítmos decimales
Los logarítmos decimalestienen base 10. Se representan por log (x).
Logarítmos neperianos
Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Propiedades de los logaritmos
El logaritmo se define como:
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número negativo.
Matemáticas IV
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No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
Ellogaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Propiedades
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor:
Matemáticas IV
Ing. Alexandro Reyes
Ejemplo
3. Ellogaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base:
Ejemplo
4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz:
Ejemplo
5. Cambio de base:
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Ejemplo
Ecuaciones logarítmicas
Ecuación logarítmica
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita...
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