Ecuaciones Exponenciales

ecuaciones exponenciales

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Ecuaciones Exponenciales
Ecuaciones Trascendentes: La ecuaci´ n que no se reduce a la ecuaci´ n algebraica mediante las transforo o maciones algebraicas, se llama ecuaciones trascendentes. Por transformaciones algebraicas de la ecuaci´ n o f (x) = 0, se entiende las transformaciones siguientes: 1. la adici´ n a ambos miembros de la ecuaci´ n una misma expresi´ nalgebraica. o o o 2. la multiplicaci´ n de ambos miembros de la ecuaci´ n por una misma expresi´ n algebraica. o o o 3. la elevaci´ n de ambos miembros de la ecuaci´ n a una potencia racional. o o Las ecuaciones transcendentes m´ s simples son las trigonom´ tricas, logar´tmicas y exponenciales. a e ı o ı´ o La Ecuaci´ n Exponencial: Se conoce como ecuaci´ n exponencial a una ecuac´on donde la inc´gnitas o forman parte s´ lo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Usualmente la letra ((x)) es o la inc´ gnita, pero se puede usar cualquier letra. o Una de la ecuaciones exponenciales m´ s simples, cuya soluci´ n se reduce a la de una ecuaci´ n algebraica, a o o es la ecuaci´ n del tipo af (x) = b, pero tenemos tambi´ n ecuaciones exponenciales del tipo af (x) = bg(x) . oe Ejemplos: 8x = 512 3x−1 = 2187 63−3 = 63
2 x x

Soluci´ n de las Ecuaciones Exponenciales: Existen dos m´ todos fundamentales de resoluci´ n de las ecuao e o ciones exponenciales. ´ 1. M´ todo de reducci´ n a una base comun. Si ambos miembros de una ecuaci´ n se pueden representar e o o como potencias de base com´ n a , donde a es un n´ mero positivo, distinto de 1. Usando la propiedad u uaf (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuaci´ n en el cual se aplican las o transformaciones algebraicas explicadas anteriormente. 2. M´ todo de logaritmizaci´ n de una ecuaci´ n exponencial. Se aplica logaritmos a conveniencia e o o en ambos lados de la ecuaci´ n y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de o logaritmosconocidas. Sin embargo, es la pr´ ctica la que nos ayudara a diferenciarlas y la soluci´ n ser´ mucho m´ s f´ cil cada vez a o a a a que resolvamos la siguiente ecuaci´ n. Adem´ s, toda soluci´ n debe probarse en la ecuaci´ n original, debido o a o o a que a veces en el procedimiento se introducen operaciones que agregan ra´ces extra˜ as. ı n

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Prof. Waldo M´ rquez Gonz´lez a a

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Ejercicios 1
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales, usando leyes de exponentes. Las respuestas est´ n rea dondeadas a dos decimales. 1. 2x = 16 2. 5x = 15625 3. 3x = 243 4. 6x = 1 5. 83x−1 = 1 6. 7x+2 = 343 7. 4x =
1 256

x=4 x=6 x=5 x=0 x=
1 3

x=1 x = −4 x = −2 x = −3 x=2 x=4 x=2 x=5 x=6 x=4 x=1 x = −2 x=
−3 2

8. 102+x = 1 9. 2−x =8 10. 32−x = 1 11. 32x = 6561 12. 52x−1 = 125 13. 3x+1 = 729 14. 5x−2 = 625 15. 32x−1 = 2187 16. 92x+1 = 729 17. 5x+1 = 0, 2 18. 104x+6 = 1 19. 2x · 2x+1 = 32 20. 3x · 32x−3 = 35 21. 27x−1 = 9x+3 22. 21−x = 42x 23. 2x 24. 5x
2 −3x

x=2 x=
8 3

x=9 x=
1 5

= 16 = 625
1 32

x = 4, x = −1 x = 4, x = −1 x = 2 y x = −2 x = 8 y x = −5

2 −3x

25. 2−1−x = 26. 11x

2

2 −3x−37

=1331

ecuaciones exponenciales 27. 6x
2 +7x+9

3 x = −2, x = −5 x=1 x=3 x=1 x = −1 x = 1,25 x=7 x = 10 x=1 x=3 x=3 x=3yx=1 x = 6,16 x = 0 y x = 0,69

=

1 6

28. 5x −2x+4 = 125 √ 29. 35x−11 = 9 √ 4 30. 4x+3 = 4 √ 3 31. 52x+8 = 25 √ √ 32. 25x−7 = 2x−2 √ √ 3 33. 2x+5 = 4x+2 √ √ 3 34. 102x+7 = 100x−1 35. 2x+1 + 2x + 2x−1 = 7 36. 22x+2 + 2x+3 = 320 37. 3x+1 + 3x + 3x−1 = 117 38. 22x − 10 ·2x + 24 = 0 39.
5x −5−x 2

2

=3

40. ex − 5e−x + 4e−3x = 0

Ejercicios 2
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales aplicando las propiedades de los logaritmos. Las respuestas est´ n redondeadas a dos decimales. a 1. 5x = 3 2. 7x = 512 3. 0,2x = 0,0016 4. 9x = 0,576 5. 2x = 3 6. 4x = 3 7. 10x = 7 8. 10x = 6 9. 27 = 23x 10. 3x = 21

x = 0,68 x = 3,21 x=4 x = −0,25 x = 1,5 x =...