Ecuaciones lienales

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Cap´ ıtulo 7

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.1. Introducci´n o

Se denomina ecuaci´n lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, o las inc´gnitas no est´n elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ ni en el denominador. o a ı, o o Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´n lineal con tres inc´gnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones linealescon 2 inc´gnitas representan una recta en el plano. o Si la ecuaci´n lineal tiene 3 inc´gnitas, su representaci´n gr´fica es un plano en el espacio. o o o a Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 7.1: Representaci´n gr´fica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 o a en el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas deecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geom´tricamente representan la misma recta o plano. e

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CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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7.2.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de laforma:  a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1    a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2  . .  .    am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´gnitas. o o u Los n´meros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´gnitas (o n´meros a u e determinar) y bj se denominan t´rminos independientes.En el caso de que las inc´gnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2 o , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las inc´gnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones o del sistema simult´neamente. a Diremos que dos sistemas son equivalentes cuandotienen las mismas soluciones.

7.3.

Expresi´n matricial de un sistema o

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:       x1 b1 a11 a12 a13 . . . a1n  a21 a22 a23 . . . a2n   x2   b2         . . . . · .  =  .  .. . . . .   .   .   . . . . . . . am1 am2 am3 . . . amn xn bm
mxn nx1 mx1

   a1n x1 x2  a2n     . se llama matriz de coeficientes, la matriz X =  .  .   .  . . am1 am2 am3 . . . amn xn   b1  b2    e se llama matriz de inc´gnitas, y la matriz B =  .  se llama matriz de t´rminos independientes. o  .  . bm La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:   a11 a12 a13 . . . a1n b1  a21 a22 a23 . . . a2n b2    (A|B) =  . . . . .  .. . . . . .  . . . . . .  a11  a21 La matriz A =  .  . . a12 a22 . . . a13 a23 . . . ... ... .. . am1 am2 am3 . . . amn bm se llama matriz ampliada del sistema y se representar´ por (A|B) o bien por A∗ . a  x+y−z = 5  Ejemplo: El sistema: x+y =7 escrito matricialmente es:  2x + 2y − z = 12       1 1 −1 x 5 1 1 0  ·  y  =  7  2 2 −1 z 12



CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES y la matriz ampliada es: 1 1 −1 5 (A|B) = 1 1 0 7  2 2 −1 12 

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7.4.

Tipos de sistemas

En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n´ meros reales R. Dependiendo del u posible n´mero de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´stos de pueden clasificar en: u e  o  * INCOMPATIBLES (No tienen soluci´n)→ S.I. o ´ * DETERMINADOS (Soluci´n unica)→ S.C.D. o  * COMPATIBLES (Tienensoluci´n) * INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

7.5.

Sistemas con dos inc´gnitas o

Los sistemas m´s sencillos son aquellos en los que s´lo hay dos inc´gnitas y 2 ecuaciones, y que ya a o o son conocidos de cursos pasados. a Hay varios sistemas para resolverlos, los m´s habituales: * Reducci´n o * Igualaci´n o * Sustituci´n o en los que ya no nos entretendremos. Como cada ecuaci´n...
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