Ecuaciones lineales

TEMA II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, MATRICES Y DETERMINANTES.

OBJETIVOS:

Generales: 1. Ampliar el conocimiento acerca de la resolución de sistemas de ecuaciones con los procedimientos propios del tema, 2. Captar la utilidad del manejo de las matrices para realizar cálculo y sus aplicaciones y 3. Distinguir perfectamente los conceptos de matriz y determinante y conocer las aplicacionesde éstos.

Específicos: • Conocer el concepto de sistema de m ecuaciones y n incógnitas y saber resolver dichos sistemas empleando el método de Gauss-Jordan. • Conocer el Teorema de Rouché-Frobenius y mediante su aplicación saber resolver sistemas de ecuaciones. • Saber discutir, y en su caso resolver, sistemas de ecuaciones con parámetros. • Conocer el concepto de matriz, así como losprincipales tipos de matrices existentes. Matrices elementales. • Saber operar con matrices y propiedades que verifican estas operaciones. • Saber obtener la inversa de una matriz dada mediante el método de las transformaciones elementales.

• Utilizar el lenguaje matricial y operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones (expresión matricial deun sistema de ecuaciones). • Interpretar la expresión de un determinante y saber resolverlos con soltura. • Interpretar y demostrar algunas de las propiedades principales de los determinantes. • Manejar con soltura el concepto de rango de una matriz y conocer sus aplicaciones. Saber calcular el rango de cualquier matriz. • Conocer la Regla de Cramer y mediante su aplicación saber resolver sistemasde ecuaciones.

BIBLIOGRAFIA ESPECÍFICA MERINO L., SANTOS E. Álgebra Lineal con métodos elementales. 1997 ANTON H. Introducción Limusa. 1990 al Álgebra Lineal. Ed

BURGOS J. Álgebra Lineal. Ed McGraw-Hill. 1993 GROSSMAN S. Álgebra Lineal con aplicaciones. Ed McGraw-Hill.1992

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
I.1 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea K un cuerpo, unaecuación lineal con coeficientes en K es una expresión de la forma: a1x1 + a2x2 +...+ anxn = b donde a1, a2,..., an ∈ K y reciben el nombre de coeficientes; b ∈ K y se llama término independiente y x1, x2,..., xn son símbolos que llamaremos incógnitas. Una solución de una ecuación es una asignación de valores de forma que se verifique la igualdad. Un conjunto de m ecuaciones lineales con las mismasincógnitas:  a 11x1 +...+a 1n x n = b1  a 21x1 +...+a 2n x n = b 2   ................ a m1x1 +...+a mn x n = b m se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Llamaremos solución del sistema a cada asignación de valores de las incógnitas, x1=k1,..., xn=kn que haga verificarse todas las igualdades es simultáneamente. Se dice que (k1,...,kn) solución del sistema. Llamaremos solucióngeneral del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen la misma solución general. Según el número de soluciones los sistemas podemos clasificarlos por: a) Sistemas compatibles, si tienen alguna solución: a.1) Determinados, solo una solución. a.2) Indeterminados, más de una solución. b) Sistemas incompatibles, sin solución. Al proceso deestudiar a que tipo pertenece un sistema dada lo llamaremos discutir el sistema.

Un sistema se dice homogéneo si, bi = 0, ∀i. Todo sistema homogéneo es compatible pues admite la solución (0,...,0). I.2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. El método consiste en conseguir a partir del sistema dado otro equivalente pero más simple y así sucesivamente hasta llegar a un sistema equivalente al primero pero tansimple que sus soluciones sean conocidas. Proposición Si en un sistema de ecuaciones se intercambian dos ecuaciones, se multiplica una ecuación por un elemento no nulo del cuerpo o se suma a una ecuación otra multiplicada por un elemento del cuerpo, se obtiene un sistema equivalente. Algoritmo (Pasar un sistema, a otro escalonado reducido) Paso 1: Se toma como primera ecuación una en la que el...