Ecuaciones lineales

UNIDAD III SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Ecuación Lineal en n- variables: x1, x2 , …, xn, donde :a1, a2 , …, an y b son constantes.

Ejemplos:

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Sistema de M ecuaciones lineales en N incognitas

el sistema de M ecuaciones lineales y N incógnitas se llama no homogéneo si al menos uno de los bi´s ≠ 0. Cuando todos los bi´s son iguales acero el sistema se llama homogéneo.

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Definición: Se dice que un conjunto de valores S = { (x1, x2 ,x3 … xn ) } es una solucion de un sistema de ecuaciones lineales si al ser substituidos en x1, x2 ,x3 … xn dan como resultado una identidad o un conjunto de identidades.

Métodos de Solución

• Suma y Resta
• IgualaciónMétodos
• Sustitución Elementales
• Grafico

• Gauss
• Gauss – Jordan
• Determinante
• Matriz Inversa

Método de suma y resta

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Método de sustitución

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Método de Igualación

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Método Grafico

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Método de Gauss

Método de Triangulación o escalonamiento

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Método de Gauss-Jordan

Matriz cuadrada Numero de columnas = Numero de renglones[pic]
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Método de Cramer

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Método por matriz inversa

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UNIDAD IV ESPACIOS VECTORIALES

Un vector es una n-ada ordenada de números reales

a = (a1, a2, … an ) = a

Partícula: En R^2 o R^3

En R un vector a = (a1, a2 ) Pareja ordenada

En R un vector a =(a1, a2, a3 ) Terna ordenada

Representación geométrica
Vector: Cantidad
• Magnitud (longitud)
• Dirección (inclinación)
• Sentido

En R^2
• Magnitud del vector a :
a = a = [pic]
• Dirección de l vector a :
Ɵ = arc tan ( a2 / a1)

En R^3
• Magnitud de a :
a = a = [pic]
• Dirección del vector a :
α = arc cos [pic]
β = arccos [pic]
µ = arc cos [pic]

Vector cero (Ơ) = ( 0, 0, …0,) en R^n

Sean a = (a1, a2, … an ), b = (b1, b2, … bn ) y c = (c1, c2, … cn )

Vector en R^n , entonces a+b es un vector IR-n y Ka también en un vector en IR-n, si K es un escalar (propiedad de cerradura)

a+b = (a1, a2, … an ) + (b1, b2, … bn ) = (a1+ b1,a2 +b2, …… an + bn )

Ka = k (a1, a2, … an ) = (ka, ka2, … kan )Propiedades para la suma

a + b = b + a (Propiedad conmutativa)

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ( Asociativa )

Existe un unico vector Ơ R-n tal que a + Ơ = Ơ + a = a para a ЄIR-n

Para cada a ЄIR-n existe (-a) tal que a + ( -a ) = (-a) +a = Ơ

Propiedades del Producto escalar

K ( a + b ) = K a + K b
a ( k + r ) = ka + ra , par k y r escalares
1.a = a.1 = aEscalar (.)

Productos

Vectorial (x)

Producto escalar o Producto punto

Si a y b ЄIR-n, entonces a . b = (a1, a2, … an ) - (b1, b2, … bn )
= (a1 . b1,a2 . b2, …… an . bn )

a . b = (a1, a2… an) b1
b2.
.
bn

Si a y b Є R^3, entonces a x b = [pic][pic] = i (a2 b3 – a3 b2 ) – j ( a1b3 – a3 b1 ) + k (a1 b2 – a2 b1 )

a x b = a b sen θ ŭ ŭ = Vector unitario

Definición: Un espacio...