Ecuaciones lineales

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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada Núcleo. Guárico Extensión Zaraza.

Facilitador: Ing. Francisco, Díaz Ing. Sistemas Mayo de 2010

Participantes: Torrealba, LauriLuz C.I 17.714.637

Sistema de ecuaciones lineales En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambiénconocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno delos más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, Análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. Sistemas lineales reales En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo, es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

Representación gráfica

La intersección de dos planos no paralelos es una recta. Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones serárepresentada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde intercepten todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intercepten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será elespacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 ómás incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. Sistema compatible si tiene alguna solución,en este caso además puede distinguirse entre:
o

Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.

o

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatiblesdeterminados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz esdiferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan

en todos los puntos de dicha recta. El sistema es...
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