Ecuaciones Lineales

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES

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La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una
variable. Obviamente sólo tiene una solución.
La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos
variables. Sus soluciones son pares ordenados de números.
Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una
variable y dando valorescualesquiera a la otra.
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres
variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números.
Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una
variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

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En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo

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RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver
simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las
soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy
útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan
como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a
estudiar la posición relativa de estas figurasgeométricas en
el plano o en el espacio).

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Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de
ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional
así :

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un sistema así expresado
tiene "m" ecuaciones "n" incógnitas, donde aij son números
reales, llamados coeficientesdel sistema,
los valores bm son números reales, llamados términos
independientes del sistema,
las incógnitas xj son las variables del sistema,
la solución del sistema es un conjunto ordenado de números
reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2,
... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez
las "m" ecuaciones del sistema.

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Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación
matricial tiene esta forma :

Donde :
•Llamamos matriz del sistema a la matriz de
dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y
la designamos por A.
•Designamos por X a la matriz columna formada por las
incógnitas.
•Denotamos por B a la matriz columna formada por los
términos independientes.

7RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la
matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (=
matriz de coeficientes) la columna de los términos
independientes, y la denotamos por A*, es decir

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Teorema de Rouché-Fröbenius.
« Un s.e.l. es compatiblesi, y sólo si, el rango de la matriz de
coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la
columna de los términos independientes. Si estos rangos son
distintos el sistema es incompatible. »
Es decir, la condición necesaria y suficiente para que un
sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es
que r(A) = r(A*),

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•Si elnúmero de incógnitas n es igual al rango h , la
solución es única.
•Si el número de incógnitas n es mayor que el rango h , el
sistema tiene infinitas soluciones.
•Si el sistema es compatible, el rango del sistema indica el
número de ecuaciones linealmente independientes

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EJEMPLO

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Métodos de Resolución des.e.l. :
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus
soluciones. Obviamente, un sistema se puede resolver
cuando es compatible, es decir, lo primero que debemos
hacer es discutir el sistema (teorema de Rouché-Fröbenius)
para averiguar su compatibilidad.
Para resolver un s.e.l. hay que hacer transformaciones en
las ecuaciones hasta que todas las incógnitas queden
despejadas....