Ecuaciones lineales

Ecuaciones Lineales con dos variables
Por: Melissa Murrias y Dra. Luz M. Rivera
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
     El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto  0  de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.
     Estos dosejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas  cuadrantes. Estas cuadrantes son numeradas en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:

 Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números  llamado par ordenado. El primer numero del par, que  se llama la abcisa; está en la recta  horizontal, el eje de x.  El segundo numero  del par se llama la  ordenadaque se encuentra en la recta vertical, el eje de y.  
(1, 4)
Eje de x              Eje de yAbcisa               Ordenada
Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

 
 
 
El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:
y = 4x + 8y = x2 + 2x + 53y = 5x + 8Digamos que queremos hacer la gráfica  la ecuación lineal  y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la  x  y resolverlo  para encontrar el valor de  y.  Con  los resultados se  formaran  los puntos de la gráfica de la siguiente manera: Ej.  Encontrar los puntos de la ecuación  y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a  la x , los valores  de -2, -1, 0,1 y 2 
x y
-2  
-1  
 0  
 1  
 2  
y = 3x + 7y = 3(-2) + 7    [Cuando la x es -2, la y es 1]y = -6 + 7y = 1 
y = 3x + 7y = 3(-1) + 7    [Cuando la x es -1, la y es 4]y = -3 + 7y = 4 
y = 3x + 7y = 3(0) + 7    [Cuando la x es 0, la y es 7]y = 0 + 7y = 7
y = 3x + 7
y = 3(1) + 7
y = 3 + 7
y = 10            [Cuando la x es 1, la y es 10]
y = 3x + 7
y = 3(2) + 7
y = 6 + 7
y =13            [Cuando la x es 2, la y es 13]
 
X y
-2 1
-1 4
0 7
1 10
2 13
 
Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x  de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuacion  lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio seencontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.
Veamos como queda la gráfica de la ecuación  y = 3x + 7. (Ver Parte 

 
 
Para verificar que un punto sea solución de la ecuación hay que hacer lo siguiente:
1. Sustituir la abcisa por x.2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} )3. Resolver la ecuación.4. Si resulta ser  igualdad, entonces el punto es soluciónde la ecuación. 
Ejemplo 1 :  ¿ Es ( 3,11) una solución a la ecuación  y = 2x + 5?
 y  = 2x + 511 = 2(3) + 5   < Sustituir los puntos por x y y>11 = 6 + 5    < Resolver>11 = 11    < Hay igualdad> 
Quiere decir que el punto (3,11) es una solución a la ecuación.
Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solución  de la ecuación   y = 2x + 5?
y =  2x + 58 = 2(2) + 5   < Se sustituyo la x  yla y>8 = 4 + 5    < Resolver>8 = 9      <FALSO, no es solución>
El punto (2,8) no es solución.  
Intercepto, pendiente y ecuación de la recta
 Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:
                                    y = mx + b
 Donde  m  es la pendiente y la  b es el intercepto en y.
 El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje dey El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x. 
Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en  y  seria:
   (0,-6) 
Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación  y = 3x + -5.
Solución: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)
 
Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.
Solución: En...