Ecuaciones Lineales
Páginas: 9 (2226 palabras)
Publicado: 18 de noviembre de 2012
Profesorado de Informática – INET 2009
Sistemas de ecuaciones lineales
TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. • Compatible determinado. Una única solución. • Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN.
Es el método deresolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando loscriterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas,..., y la primera todas las incógnitas.
El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.
Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:
En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnitax1, obteniéndose un sistema equivalente:
Patricia Echenique Viñas
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Profesorado de Informática – INET 2009
En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:
En tercer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamosen todas las ecuaciones, excepto en las tres primeras, la incógnita x3, y así sucesivamente, hasta obtener el siguiente sistema equivalente:
Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación porsus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes: • • • • • Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. Sumarle o restarle a una fila otra fila. Sumarle a una fila otra fila multiplicada por unnúmero distinto de cero. Cambiar el orden de las filas. Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a laincógnita z y la tercera a la incógnita y. Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).
• •
Patricia Echenique Viñas
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Profesorado de Informática – INET 2009 Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, lasfilas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo: ◊ Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución. ◊ Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y...
Sistemas de ecuaciones lineales
TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. • Compatible determinado. Una única solución. • Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN.
Es el método deresolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando loscriterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas,..., y la primera todas las incógnitas.
El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.
Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:
En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnitax1, obteniéndose un sistema equivalente:
Patricia Echenique Viñas
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Profesorado de Informática – INET 2009
En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:
En tercer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamosen todas las ecuaciones, excepto en las tres primeras, la incógnita x3, y así sucesivamente, hasta obtener el siguiente sistema equivalente:
Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación porsus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes: • • • • • Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. Sumarle o restarle a una fila otra fila. Sumarle a una fila otra fila multiplicada por unnúmero distinto de cero. Cambiar el orden de las filas. Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a laincógnita z y la tercera a la incógnita y. Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).
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Patricia Echenique Viñas
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Profesorado de Informática – INET 2009 Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, lasfilas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo: ◊ Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución. ◊ Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y...
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