Ecuaciones no Homogeneas

Ecuaciones no Homogeneas
Toda función libre de parámetros arbitrarios que satisface que es una ecuacion homogenea se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamenteque la función constante es una solución particular de la ecuación no homogénea . Si son soluciones de la ecuación en un intervalo Zy y, es cualquiersoluciónparticular de la ecuación homogénea en Z, entonces, la combinación lineal


también es una solución de la ecuación no homogénea. si se piensa al respecto esto no tiene sentido por que la combinacion lineal ,se transforma en 0 mediante el operador mientras que se transforma en . Si se usa soluciones linealmente independientes de la ecuacion de n-esimo orden:

entonces

se volverasolucion general de:

Solucion general, ecuaciones no homogeneas

Sea cualquier solucion particular de la ecuacion diferencial lineal no homogenea de n-esimo orden

en un intervalo I, y sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial homogenea relacionada:

en I entonces la solucion general de la ecuacion en el intervalo es:

donde las son constantesarbitrarias.
DEMOSTRACION
Sea L el operador diferencial definido y sean y soluciones particulares de la ecuacion no homogenea . Si se define , entonces por la linealidad de L se tiene:

esto demuestra que es una solucion de la ecuacion homogenea por lo tanto por el teorema de las ecuaciones homogeneas y entonces

y si despejamos para se llegara al teorema.


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http://www.slideshare.net/matenezacal/ecuaciones-no-homogneas

Ecuación diferencial lineal no homogénea
Exponemos la manera de hallar una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal, no homogénea, con coeficientes reales constantes y de orden por elmétodo de selección.

Teorema 1 Consideremos la ecuación diferencialordinaria lineal, no homogénea, con coeficientes reales constantes y de orden :

en donde es la variable independiente, la dependiente y representa una función continua de en La correspondiente ecuación homogénea asociada es por tanto

Entonces, todas las soluciones de la ecuación completa (1) se obtienen sumando a una solución particular de esta todas las de la homogénea (2).Teorema 2 Si es una función de la forma

con polinomios de grados respectivamente, y , entonces, una solución particular de la ecuación es de la forma:

en donde: (i) son polinomios con coeficientes indeterminados ambos de grado (ii) es el orden de multiplicidad de como raiz de la ecuación característica
Ejemplo 1 Hallar la solución general de la ecuación
ResoluciónHallemos la solución general de la homogénea. Las soluciones de la ecuación característica son (simples). La solución general de la homogénea es por tanto Identificando con de (3):

deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma Obligamos que sea solución:

Identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos La solución general de laecuación dada es

Ejemplo 2 Hallar la solución general de la ecuación
Resolución Hallemos la solución general de la homogénea. Las soluciones de la ecuación característica son (doble) y (simple). La solución general de la homogénea es por tanto Identificando con de (3):

deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma Obligamos quesea solución:

Identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos La solución general de la ecuación dada es

Ejemplo 3 Hallar la solución general de la ecuación
Resolución Hallemos la solución general de la homogénea. La solución de la ecuación característica es (doble). La solución general de la homogénea es por tanto Identificando con de (3):

deducimos...