Ecuaciones reducibles a e.d.o de variables separables

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Clase de E.D.O.
Carlos de Oro Aguado
Universidad de C´rdoba o Facultad de Ciencias B´sicas a Departamento de matem´ticas y estad´ a ıstica

08.2011

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E.D.O. | 08.2011 | Carlos de OroAguado

Ecuaciones reducibles a E.D.O. de variables separables
E.D.O. homogeneas
f : S ⊆ R2 −→ R es homogenea de grado α ∈ R si f (tx, ty) = tα f (x, y), Ejemplos ∀(x, y) ∈ S, t > 0 tal que (tx,ty) ∈ S.

√ f : R2 −→ R definida por f (x, y) = x − 3 xy + 5y, es homogenea de grado 1. f : R2 −→ R definida por f (x, y) = x3 + y 3 es homogenea de grado 3/2. x2 y − xy 2 . Sea f : R2 {(0, 0)} −→ Rdefinida por f (x, y) = 3 x + 4y 3 La funci´n f : R2 −→ R definida por f (x, y) = x2 + xy − 1 no es homogenea. o

Lema
Sea f : S ⊆ R2 −→ una fn.homogenea de grado n. Entonces y f (x, y) = xn f (1, ), x x= 0.

En particular, si f es una fn. homogenea de grado cero, se tiene f (x, y) = f 1, Ejemplo. f (x, y) =
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y , x

x = 0.

x2

+ xy + x2 + 2xy

3y 2

.

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Definici´n o
Decimos que una E.D.O. de 1er orden dy = f (x, y) dx (1)

es homogenea si la fn. f es homogenea de grado 0. As´ ı, (1) ⇔ Ejemplo. Resuelva el P.V.I. (x2 + y 2 )dx+ (x2 − xy)dy = 0, y(1) = 1 . y dy = f 1, dx x

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Ecuaciones lineales de 1er orden
Sabemos que la forma general de una E.D. lineal de orden n es:an (x) dn y dn−1 y dy + a0 (x)y = g(x). + an−1 (x) n−1 + · · · + a1 (x) n dx dx dx

Como nos interesa trabajar con E.D. de 1er orden, entonces dy + a0 (x)y = g(x), dx a0 (x) g(x) dy + y= . dx a1(x) a1 (x)

a1 (x) ⇔ Sean p(x) =

a1 (x) = 0

g(x) a0 (x) , q(x) = entonces a1 (x) a1 (x) dy + p(x)y = q(x) dx

con p(x), q(x) continuas en I.

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Ejemplos dy − 4y = x6 ex . dx Resuelva el P.V.I. Resuelva x

Resuelva el P.V.I. y encuentre una soluci´n continua: o   dy + y = f (x) dx y(0) = 0 donde f (x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 . 0, x > 1...
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