Ecuaciones Simultaneas
En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por ellos pagó 9.50 pesos. Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz?
Chucho, para resolver este problema, piensa así:
Necesito encontrar dos números que sumados me den 4 pesos, que es lo que cuestan una goma y un lápiz.
a + b =4 ( (1)
a = precio de cada goma
b = precio de cada lápiz
Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "a" y "b", no puede ser resuelta con una sola ecuación, por lo que se necesita otra diferente que también incluya las dos incógnitas. Chucho dice que si sabe que vendió 3 gomas (a) y 2 lápices (b) y que por ellas le pagaron 9.50 pesos, puede plantear otra ecuación que incluya las gomas ylos lápices, diferente a la anterior, esta sería:
3a + 2b = 9.50 ( (2)
Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las mismas incógnitas, por lo que se llaman ecuaciones simultáneas.
a + b =4 ( (1)
Es la suma del costo de una goma y un lápiz.
3a + 2b = 9.5 ( (2)
Es lo que cobró Chucho por la venta de tres gomas y dos lápices.
Chucho dice que para conocer el valor delas dos incógnitas es necesario seguir los siguientes pasos.
Paso 1
Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación para despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la incógnita que sea más fácil de dejar sola. En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para despejar es la (1).
a + b = 4 ( (1)
Paso 2
De la ecuación seleccionada, se despejauna de las dos incógnitas.
a + b = 4
Para dejar sola a la "a", se resta "b" en los dos términos:
a + b - b = 4 - b
Como +b - b = 0, la ecuación queda así:
a = 4 - b
Paso 3
Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea.
Se debe sustituir a = 4 - b en:
3a + 2b = 9.50 ( (2)
Esto implica que en donde se encuentre "a" en la segunda ecuación se debe poner "3 - b".
3 (4 - b) +2b = 9.50
Paso 4
Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las ecuaciones.
3 (4 - b) + 2b = 9.50
12 - 3b + 2b = 9.50
12 - b = 9.50
Paso 5
La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (b), por lo que se puede obtener el valor de esa incógnita al despejarla.
12 - b = 9.50
Para despejar "b", se resta en ambos términos doce:
12 - 12 - b = 9.50 -12
Al realizar las operaciones se tiene:
0 - b = - 2.50
Para obtener el valor positivo de "b", se pueden multiplicar ambos términos por - 1 y la ecuación no se altera.
- b = - 2.50
Multiplicado por - 1 se tiene:
(- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1)
b = 2.50
Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "b", o sea, lo que cuesta un lápiz.
Paso 6
Al conocer el valor de una de las dosincógnitas se podrá sustituir su valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener una ecuación con una sola incógnita, observe:
Si b = 2.5, sustituya el valor de "b" en la ecuación (a + b = 4) y se tiene lo siguiente:
a + (b) = 4
a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación)
Para despejar a la incógnita "a", se resta 2.5 en los dos términos:
a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5
Se realizanlas operaciones y queda que a = 1.50
Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta centavos.
Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada goma uno cincuenta.
Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos (a = 1.50, b = 2.50) en las dos ecuaciones planteadas.
Ecuaciones originales:
a + b = 4 ---------- (1)
3a + 2b = 9.50 ------- (2)Sustituyendo a = 1 y b = 2 en la ecuación (1) se tiene que:
a + b = 4
(1.50) + (2.50)=4
4 = 4
[pic]
Sustituyendo a = 1.5 y b = 2.5 en la ecuación (2) se tiene que:
3a + 2b = 9.50
3(1.50)+2(2.50)=9.50
4.50 + 5 = 9.50
9.50 = 9.50
Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, los resultados obtenidos están bien calculados.
Con la solución de este tipo de ecuaciones, Chucho...
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