Ecuaciones simultáneas

Solución de ecuaciones lineales simultáneas
Principales métodos de solución
1.- Eliminación de Gauss simple
El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamentelas mismas soluciones.
Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales.
Hay tres tipos de operaciones elementales:
1.- Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.

2.- Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero).

3.-Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta y un múltiplo escalar de otra ecuación del S.E.L.

El método sirve para resolver grandes sistemas de ecuaciones de la forma:











2.- Descomposición LU
El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original decoeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).
Esto es:

Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
 =  
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aquíque los elementos de L y U son, en este caso:




Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:
A x = b
Lo cual resulta lo mismo escribir:
L U X = b
Definiendo a:
U X = Y
Podemos escribir:
L Y = b
Resolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y= b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss.
Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector deexcitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación gaussiana.



3.- Método de Gauss-Siedel
La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal: 


Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q 



y la ecuación se puede escribir en la forma: 
Qx(k) = -Rx(k-1) + b

Unelemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación: 



Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos escribir entonces: 

=

 

=

 
de donde despejando xi(k), obtenemos: Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizadosde x1, x2, ..., xi-1.

Método de Gauss-Jordan
Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del...