Ecuaciones y desigualdades, lineales, cuadraticas, matrices

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ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Sistemas de ecuaciones lineales
Muchos problemas reales tienen que ver con situaciones en las cuales dos o más valores cambian linealmente a la misma vez. A menudo, se desea hallar cuándo estos valores serán iguales. Por ejemplo, los valores pueden ser la ubicación de dos caminantes y se desea determinar cuándo se encontrarán los caminantes. Cada valor creciente serepresenta por una ecuación lineal. Así que varios valores que cambian linealmente se representan por varias ecuaciones lineales, llamadas un sistema de ecuaciones lineales. Identificar dónde los valores serán iguales requiere resolver el sistema, esto es, hallar los valores de las variables que hacen ciertas todas las ecuaciones lineales en el sistema.

Desigualdades lineales
Otra manera deextender los conceptos de una ecuación lineal es cambiar el signo de igualdad por un signo de menor o de mayor. Si hace esto, está expresando que las dos expresiones no son equivalentes. Este capítulo introduce las desigualdades (inequalities) lineales en las cuales una de las variables tiene un valor conocido, tal como 5 _ 2a _ 21. Tal desigualdad tiene un número infinito de soluciones y usted lopuede visualizar en una recta numérica. Luego este capítulo considera una desigualdad lineal en dos variables. Al igual que el par de números que satisface una ecuación puede representarse por una recta en una gráfica, los pares de números que satisfacen una desigualdad pueden representarse en una gráfica. Estos aparecen como todos los puntos a un lado de la recta que representan la ecuacióncorrespondiente. Para una desigualdad estricta, tal como y _ 2x _1, los puntos en la recta fronteriza y _ 2x _1 hacen falsa la desigualdad, así que la recta está entrecortada para mostrar que sólo la porción sombreada de la gráfica, y no la recta fronteriza, representa la solución.

Sistema de desigualdades lineales
Los métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming) aplican amuchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdades lineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la región que contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Para resolver desigualdades de la forma ax2 + bx + c >< 0, encontramos primero las raíces del término cuadráticoy luego generamos una tabla de signos.
EJEMPLO A: Resolver x2 + 5x + 6 > 0

Las raíces del término cuadrático son –2 y –3. Con éstas se construye una tabla de signos.

Para obtener el signo de cada intervalo, basta con sustituir cualquier número dentro del intervalo en el término cuadrático, y trasladar su signo a la tabla. Por ejemplo, para obtener el signo del intervalo ]–3, –2[sustituimos cualquier número dentro de este intervalo, por ejemplo x = –2.5. Al sustituir, obtenemos: (–2.5)2 + 5(–2.5) + 6 = –0.25. Como el signo del resultado es negativo, trasladamos un signo negativo a la tabla.

Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores o iguales a cero (porque x2 + 5x + 6 > 0; nótese que se pidemayor o igual a cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]–¥ , –3] È [–2, +¥ [.
EJEMPLO B: Resolver –2x2 + 9x – 5 > 0

Las raíces del término cuadrático son 0.65 y 3.85. Con éstas se construye una tabla de signos.
Con la tabla como base, notamos que la desigualdad original exige escoger todos aquéllos intervalos con resultados mayores que cero (porque –2x2 + 9x – 5 > 0; nóteseque se pide mayor que cero). Por lo tanto, el conjunto solución sería: ]0.65, 3.85[.

Funciones

Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , que llamaremos imagen de . Decimos que y es función de y lo representamos por

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dado los conjuntos...
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