Ecuaciones y funciones cuadrática

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Teoría y Práctica: ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

Área: Matemática

Curso: 2do. Año de Polimodal

Introducción

Comenzamos con la siguiente situación:

Dido: La fundadora de Cartago

Cuenta la historia que cuando Dido, perseguido por su cruel hermano, asentó sus pies en lo que luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iargas, la compra del terreno necesario para fundaruna factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido Cortó en finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Iarbas había pensado entregar. Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar.
Si el trato hubiera sido que la parcelatenía que ser rectangular, ¿qué rectángulo hubiese convenido a Dido construir?

Fijemos un perímetro y empecemos a conjeturar sobre los diferentes rectángulos. Supongamos que el perímetro es 24 y designemos con b y h las medidas de la base y la altura del rectángulo, entonces tenemos:

b H Per= 24 Bh
1 11 2.1+2.11 11
2 10 2.2+2.10 20
3 9 2.3+2.9 27
4 8 2.4+2.8 32
5 7 2.5+2.7 35
6 6 2.6+2.636
7 5 2.7+2.5 35
8 4 2.8+2.4 32
9 3 2.9+2.3 27
10 2 210+2.2 20
11 1 2.11+2.1 11
12 No tiene solución

Observamos que ente caso, de perímetro 24, el rectángulo de área máxima se obtiene para b=h, es decir para el cuadrado. Es decir que a Dido le hubiera convenido construir un cuadrado.

Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado

Ecuación de segundo grado: es una ecuación de la formaax + bx + c = 0

con a, b, c R y a 0

Ejemplos de ecuaciones de Segundo Grado

a) x + 16 = 0
b) x -7x – 18 = 0

La ecuación puede ser completa: ax + bx + c = 0 con a , b0 , c0

4x²-4x+1=0
x²-6x-16=0
O puede ser incompleta:

ax 3x-x
ax² + c = 0 3x² - 48 = 0
ax² = 0 4x² = 0

Toda ecuación de sugundo gradocon incógnita, tiene dos raíces que denotaramos y de una ecuación de segundo grado de la forma ax²+bx+c=0 con a0 pueden obtenerse a través de la conocida fórmula de Bhaskara reemplazando los coeficientes a,b,c en las siguientes expresiones:

,

Podemos escribir en forma abreviada:

Discriminante

La expresión del radicando= b²-4ac

se llama discriminante de la ecuación y se simboliza con la letra griega .

Según el discriminante tenemos:

Si b² - 4ac  0, la ecuación tiene dos raíces reales y distintas.

Ejemplo: x²-5x+6=0


Si b² - 4ac  0, la ecuación no tiene raíces reales; tiene dos raíces complejas conjugadas.

x²-2x-5=0

a) 2x = 0
b) 2x= 0

Ejemplo2x = 0

Si b² - 4ac = 0, la ecuación tiene una única solución real; deremos que es una raíz doble.

Ejemplo: 9x²+6x+1=0


Actividades

1) Resuelve las siguientes ecuaciones
c) 2x = 0
d) x - x = 0
e) 4x - 9 = 0
f) x +11= 0
g) 8x +16x= 0
h) 3x -4= 28+x²
i) (x-5)(x+5)=0
j) x +4x-7= 0
k) (x+1) = 9
l) -5=
m) - = 36
2) Dada la ecuación x -(m+2)x+10=0 hallar los valores de m para quelas dos raíces sean iguales.
3) La suma de un número positivo y su cuadrado es 42. Hallar dicho número.
4) Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380.
5) El producto de un número negativo por su tercera parte es 27. Calcular dicho número.
6) La suma de los cuadrados de dos números negativo por su tercera parte es 27. Calcular dicho número.7) Calcular de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. Hallar dichos números.
8) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm, tres números pares consecutivos. Hallar los valores de dichos lados.
9) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Marcela.
10) Un jardín rectangular de 50 m de largo...
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