Ecuaciones

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ECUACIONES
Una ecuación (o igualdad) es el enunciado de que dos cantidades o expresiones son iguales. Las ecuaciones se utilizan en todos los campos donde se usen números reales. Como ejemplo, la ecuación
d = vt o bien distancia = (velocidad)(tiempo),
se usa en la solución de problemas donde un objeto se mueve
constante. Si la velocidad ‘v’ es 45 millas por hora, entonces ladistancia
d(en millas) recorrida después de un tiempo t (en horas) está dada por
d = 45t.
Por ejemplo, si t = 2 h, entonces d = 45 • 2 = 90 millas. Si deseamos hallar cuánto tarda el objeto en recorrer 75 millas, hacemos d =75
y resolvemos la ecuación
75 =45t o bien, 45t = 75.
Al dividir ambos lados de la última ecuación entre 45, obtenemos
t = 75/45 = 5/3
Por lo tanto, si v= 45 millas por hora, el tiempo requerido para recorrer 75 millas es 1 5/3 horas, o sea 1 hora y 40 minutos.
Observarás que la ecuación d = vt contiene tres variables: d, v y t. En buena parte de nuestro trabajo en este capítulo sólo consideraremos ecuaciones de una variable. La tabla que sigue se aplica a una variable
x, pero se puede considerar cualquier otra variable. Las abreviaturas Ll yLD de la segunda ilustración son por lado izquierdo y lado derecho.

SOLUCION DE ECUACIONES; ECUACIONES DE PRIMER GRADO
  Una solución de una ecuación es un número que "satisface" a la ecuación. De manera más formal, se tiene lo siguiente.
  DEFINICIÓN. El número e es una solución de la ecuación f(x) = g(x) si y sólo si
f(c) = g(C).
  Al conjunto de todas las soluciones de una ecuaciónse le denomina conjunto solución.
EJEMPLO 1
a.    3 es una solución de x² = 2x + 3 debido a que al reemplazar x por 3 da      
   (3)² = 2(3) + 3,
  que es enunciado verdadero.
b. Ya que 0 y 5 son las soluciones de x² - 5x=0. el conjunto solución es {0,5}.
SOLUCION DE ECUACIONES
  "Resolver" una ecuación significa determinar todas sus soluciones. Por lo general esto se haceescribiendo una secuencia de ecuaciones equivalentes, ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución, hasta que las soluciones resulten obvias. Tales ecuaciones equivalentes pueden formarse simplificando a uno o a ambos miembros de la ecuación, o utilizando el siguiente teorema que surge a partir de propiedades semejantes de los números reales.
 
TEOREMA. Para todos los valores de x para los cualeslas expresiones f(x), g(x), y h(x) son números reales, la ecuación
f(x) = g(x)
  es equivalente a
  I. f(x) + h(x) = g(x) + h(x),
II. f(x) * h(x) = g(x) * h(x) [h(x) ≠ 0].
  ECUACIONES DE PRIMER GRADO
  Una ecuación de primer grado, o ecuación lineal en una variable es una ecuación polinomial en la cual el mayor exponente de la variable es 1 o una ecuación que puedaescribirse en forma equivalente en la cual el Mayor exponente sea 1 . La forma general de una ecuación de prime, grado en una variable se expresa como
  ax + b = 0 (a≠0)
En el ejemplo siguiente se ilustra la forma en la que el primer Teorema se utiliza para encontrar la solución de una ecuación de Primer grado.
Ejem. Resuélvase cada ecuación,
       a. (x +1)/2   –  (2x – 4)/3     = 2
 b. x(x – 3) + 4 = (x +1)(x –5) + 10
solución.
a. Multiplicando cada término por el MCD, se tiene
3(x + 1) - 2(2x - 4) =12,
3x + 3 - 4x + 8 = 12,
-x+11 =12
partir de la cual se obtiene
-         x = 1 o x = -1
El conjunto solución es { - 1}
b. Realizando las multiplicaciones indicadas se tiene
x² -3x + 4 =x² -4x - 5 + 10,
x² -3x + 4 = x² - 4x + 5.
Sumando –x² + 4x - 4a ambos miembros, se obtiene
X = 1
El conjunto solución es {1}.
 
SOLUCIONES EXTRAÑAS
En el proceso de resolver una ecuación, es posible obtener un número que en realidad no sea una solución a la ecuación Original. A tal número se le conoce como solución extraña. Esto puede ocurrir cuando a ambos miembros de una ecuación se les multiplica por una expresión que incluya una variable....
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