Ecuaciones

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Resuelva el problema de valores iniciales
y” + y = 4x + losenx, y(n) = 0, y’(n) = 2.
5OlUClóN La solución de la ecuación homogénea asociada, y” + y = 0, es yC = CIcos x +
c2 sen x. Como g(x) = 4x + 10 sen x es la suma de un polinomio lineal y una función senoidal,
nuestra tentativa lógica de y,, según los renglones 2 y 5 dela tabla 4.1, seria la suma de
y,,=Ax+Byy,,=Ccosx+Esenx:
y, = Ax + B + Ccosx + Esenx. (5)
Pero hay una duplicación obvia en los términos cos x y sen x en estaforma tentativa y dos
términos de la función complementaria. Podemos eliminar esta repetición con sólo multiplicar
yp2 por x. En lugar de la ecuación (5) usaremos ahoray, = Ax + B + Cxcosx + Exsenx. (6)

Empleo de la regla de multiplicación
Resuelva y” - 6y’ + 9y = 6x2 + 2 - 1 2e3’.
SOLUCIÓN La función complementaria es yc =cl e3’ + c2xe3X. Entonces, basándonos en
los renglones 3 y 7 de la tabla 4.1, la hipótesis normal de una solución particular sería
y, = Ax2 + Bx + C + Ee3”.
-ir’Y4 h
Al revisar estas funciones vemos que un término de yp2 está repetido en yE. Si multiplicamos
yp2 por x el término xe3* sigue siendo parte de yc. Pero simultiplicamos yp2 por 2 se eliminan
todas las duplicaciones. Así, la forma operativa de una solución particular es
y, = Ax2 + Bx + C + Ex2e3X.
Si derivamos esta forma,sustituimos en la ecuación diferencial y reunimos los términos
semejantes, llegamos a
y; - 6~; + 9y, = 9Ax2 + (-12A + 9B)x + 2A - 6B + 9C + 2Ee’” = 6x2 + 2 - 12~~~“.De acuerdo con esta identidad, A = $ B = $, C = 5 y E = -6.
Por lo tanto, la solución general y = yc + y,, es
y = c1e3’ + c2xe31 + -23x 2 + -98x + -32 - 6x2e3”.
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