ecuaciones

Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones seríael siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:
1.             Resuelve una de las ecuaciones para x o y.
2.            Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable).
3.            Resuelve la nueva ecuación para lavariable.
4.            El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.
5.            La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones
 
Ejemplo 1
Resuelve: 
Solución  Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:
1. Resuelve una de lasecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x
2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y.  2x – 3(8 – x) = -9
3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:
                      2x – 3(8 – x)   =  -9
                       2x – 24 +3x   =  -9                   Simplificando
                               5x – 24   =-9                   Combinando términos semejantes
                                       5x   =  15                  Suma 24 a ambos lados
                                         x   =  3                    Divide entre 5
4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y =5.
5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero.
Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en
                              2(3) – 3(5)  =  -9
                                     6 – 15  = -9
                                            -9  = -9
Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.Ejemplo 2
Solución de un sistema inconsistente.
Resuelve el sistema 
Solución   Utiliza el procedimiento de los cinco pasos
1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera  ecuación para x)  x = 4 -2y
2. Sustituimos x = 4 -2y  en la segunda ecuación
                                  2(4 –2y) = -4y +6
                                      8 –4y =-4y +6               Simplificamos
                               8 –4y +4y = -4y +4y +6        Suma 4y
                                             8  =  6
3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente.
4. No necesitamos el paso 4
5. Comprueba; nota quesi se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes  x = -2y+3 o     x+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.
 
Ejemplo 3
Solución de un sistema dependiente
Resuelve el sistema 
Solución. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.
1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y
2. Sustituye x=4 –2y  en 4y +2x= 8...