Ecuaciones

CAPITULO 3.

ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR

CAPITULO 3.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ahora se estudiaran las ecuaciones diferenciales (ED) de segundo orden o orden superior. En este capítulo se examinara una parte de la teoría en que se basan las ecuaciones diferenciales lineales. Después, se aprenderá como resolver ecuaciones diferenciales de orden superior.

CONTENIDO DELCAPITULO
3.1 TEORIA PRELIMINAR      Problemas de Valor Inicial (PVI) y de Valores en la Frontera TEOREMA: Existencia de una Solución Única PRINCIPIO DE SUPERPOSICION TEOREMA: Criterio para soluciones Linealmente Independientes (LI) TEOREMA: Solución general para ED homogéneas.

3.2 PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN 3.3 EDOL HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 3.4 COEFICIENTESINDETERMINADOS 3.5 METODO DEL ANULADOR 3.6 VARIACION DE PARAMETROS 3.7 ECUACION DE CAUCHY-EULER

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR

Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

CAPITULO 3. 3.1. TEORIA PRELIMINAR

ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE VALORES EN LA FRONTERA
Para una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden, unproblema de valor inicial seria: Resolver

Sujeta: Recuerde que para un problema como este se busca una función definida en algún intervalo I que contenga una que satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especificadas en Conociendo que para un problema de valor inicial de segundo orden, una curva de solución deberá atravesar el punto y tener una pendiente en ese punto.TEOREMA: EXISTENCIA DE SOLUCION UNICA
Sean . Si es cualquier punto en el intervalo existe una solución en dicho intervalo problema de valor inicial representado por y y esta solución es UNICA. del continuas en un intervalo I, sea para todo

Ejemplo 1. Solución Única de un PVI El problema de valor inicial

Posee la solución trivial y=0. Dado que la ecuación de tercer orden es lineal concoeficientes constantes, se deduce que todas las condiciones del teorema anterior se cumplen. Por lo tanto Y=0 será la UNICA solución en cualquier intervalo que contenga x=1.

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR

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CAPITULO 3.
NOTAS:

ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR

Para todos los enunciados siguientes secumple: i. Todos los coeficientes son continuos ii. es continua iii. Un OPERADOR DIFERENCIAL es una TRANSFORMACION LINEAL NOTACIONES

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sean lineal de las soluciones de la EDO de orden n en un intervalo I. entonces la combinación tambien es una solución en el intervalo.

Combinación Lineal: Son ctes arbitrarias con i= 1, 2, … , k Corolario a) Un múltiplo constante tambiénes una solución. de una solución de una EDOL homogénea

b) y=0 es una solución trivial para una EDOL homogénea. DEFINICION. Independencia o Dependencia Lineal Son vectores Combinación Lineal con Todos los Sí Existe al menos un Linealmente Dependientes L.D son 0 escalares.

Linealmente Independientes L.I

Dos funciones son L.D, si una es múltiplo escalar de la otra.

Fuente: ECUACIONESDIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR

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CAPITULO 3.

ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR

TEOREMA: CRITERIO PARA SOLUCIONES L.I
Sean ; n soluciones de la EDOL Homogénea de orden en un intervalo I. entonces el conjunto de soluciones es L.I. en el intervalo I, sí y solo sí el WRONSKIANO es diferente de cero para todo x.

TEOREMA:SOLUCION GENERAL PARA E.D HOMOGENEAS
Sean ) un conjunto fundamental de soluciones de las EDOL Homogénea de orden n en un intervalo I. Entonces la solución general en el intervalo es:

TEOREMA: SOLUCION GENERAL PARA E.D NO HOMOGENEAS
Sea cualquier solución particular de la EDOL NO Homogénea de orden n en un intervalo I y sea ) un conjunto fundamental de soluciones de la EDOL Homogénea asociada;...