ecuaciones

1
Resolución de ecuaciones de 2º grado y ecuaciones bicuadradas. 4ºESO.
1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA
Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son:

Esta última ecuación parece, a simple vista, de primer grado, pero si se opera en ella,
x + 1 = 2x (x - 1) Û x + 1 = 2x2 - 2x, se observa quees una ecuación de segundo grado.
Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la
forma ax2 + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x2 y x
respectivamente y c es el término independiente.
1.1. Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son
distintos de cero.La expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0.
1.2. Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son
cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0; si
ax2 + bx = 0;ax2 + c = 0;

b=0

y

si

c = 0.

si

c = 0.

b = 0.

Para transformar una ecuación cualquiera de segundo grado en la forma ax2 + bx + c = 0, se
siguen, si procede, los siguientes pasos:
1. Se quitan paréntesis, teniendo en cuenta el signo que les precede.
2. Se quitan los denominadores multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los
mismos.
3. Se pasan todos lostérminos de la ecuación al mismo lado del signo =.
4. Se reducen los términos semejantes.
5. Se ordenan los términos según el orden decreciente de los exponentes de x:
ax2 + bx + c = 0.
Una vez obtenida esta expresión, si la ecuación puede simplificarse, porque todos sus
coeficientes sean múltiplos de algún número, debe hacerse, con el fin de facilitar las operaciones
posteriores.

2Resolución de ecuaciones de 2º grado y ecuaciones bicuadradas. 4ºESO.
Si el término en x2 fuese negativo, se multiplicaría toda la ecuación por -1, obteniéndose así
otra ecuación equivalente con el término de mayor grado positivo.
Ejercicio: ecuaciones de segundo grado
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1.Expresar la ecuación 3x2 - 2x + 1 = 5 en la forma ax2 + bx + c = 0, indicando los
valores de los coeficientes a, b y c.
Resolución:
1. Se pasan todos los términos al mismo lado del signo =, y se reducen los términos
semejantes:
3x2 - 2x + 1 - 5 = 0 è 3x2 - 2x - 4 = 0
a = 3 es el coeficiente del término en x2.
b = -2 es el coeficiente del término en x.
c = -4; es el término independiente.
Laecuación es completa. Ninguno de sus coeficientes es cero.

Resolución:
1. La x que está dividiendo en el primer miembro pasa a multiplicar al segundo:
15 = (8 + x) × x
2. Se quitan paréntesis: 15 = 8x + x2.
3. Se pasan todos los términos al mismo miembro y se ordenan:
15 - 8x - x2 = 0 Þ -x2 - 8x + 15 = 0.
4. Si en lugar de pasar los términos al primer miembro, se pasan al segundo, laecuación resultante es:
0 = x2 + 8x - 15, ecuación equivalente a la anterior.
En la ecuación -x2 - 8x + 15 = 0, a = -1; b = -8 y c = 15
En la ecuación x2 + 8x - 15 = 0, a = 1; b = 8 y c = -15
Los coeficientes son iguales pero de signos contrarios.
Para pasar de una ecuación a otra basta con multiplicar por -1.
3 Expresar en la forma ax2 + bx + c = 0, la ecuación

Resolución:
1. Se quitanparéntesis:

2. Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30

3
Resolución de ecuaciones de 2º grado y ecuaciones bicuadradas. 4ºESO.
15(3x + 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 + 2x + x + 2);
45x + 45 - 20x + 20 = 6x2 + 12x + 6x + 12);
45x + 45 - 20x + 20 - 6x2 - 12x - 6x - 12 = 0.
3. Se reducen términos semejantes: 7x - 6x2 + 53 = 0
4. Se ordena la ecuación resultante: -6x2 + 7x + 53 =...