Ecuaciones

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Desigualdades con una incógnita
Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para expresarlas de la manera más simple posible. Resuelve la desigualdad:5 x − 1 > 24 Ejemplo 1

• Empezamos sumando 1 en ambos lados de la desigualdad. • Este paso se justifica con la propiedad (i). 5 x − 1+1 5x

> 24+1 > 25

• Ahora podemos dividir entre 5 amboslados de la desigualdad. • Dado que 5 > 0 el sentido de la desigualdad no cambia. 5x 5 x

> >

25 5 5

• Entonces la desigualdad: 5 x − 1 > 24 expresada en su forma más simple es equivalente a ladesigualdad: x > 5. • Geométricamente, tenemos: x 4 5 6 7 8 9

• Otra forma equivalente de escribir este resultado es: x ∈ (5, ∞).

De nuevo, el círculo al inicio de la desigualdad está vacíoindicando que 5 no satisface la desigualdad. Esto es así porque 5 5. Sino 5 = 5.

Notación de intervalos Los intervalos con límites en a y b, se pueden expresar como: i) ( a, b) que incluye a todos losvalores entre a y b, excluyendo a los límites. ii) [ a, b) que incluye a todos los valoes entre a y b, incluyendo a a pero excluyendo a b. iii) ( a, b) que incluye a todos los valoes entre a y b,excluyendo a a pero incluyendo a b. iv) [ a, b] que incluye a todos los valoes entre a y b, incluyendo a a al igual que a b. De manera semejante, en notación de desigualdades podemos reescribir losintervalos como sigue: 1/5 Definición 1

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Equivalencia entre la notación de intervalos y de desigualdades En cada uno de los siguientesintervalos están incluidos además, todos los valores entre a y b. i) ( a, b) = { x | a < x < b} Comentario ii) [ a, b) = { x | a ≤ x < b} iii) ( a, b] = { x | a < x ≤ b} iv) [ a, b] = { x | a ≤ x ≤ b}

⇒⇒ ⇒ ⇒

ni a ni b están en el conjunto. a sí está en el conjunto, pero b no. b sí está en el conjunto, pero a no. tanto a como b están en el conjunto.

Observa que en la desigualdad a ≤ x, en...
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